第21题函数零点的性质问题I．题源探究·黄金母题【例1】求函数的零点的个数．【答案】1．【解析】的定义域为．由零点存在性定理知有零点．又在上是单调递增函数，只有一个零点．精彩解读【试题来源】人教版A版必修1P88例1．【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东卷】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，故选B．【例3】【2016高考天津卷】已知函数f（x）=（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（【命题意图】本题主要考查分段函数的零点问题．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合、转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又 时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C．【例4】【2016高考山东卷】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________．【答案】【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即【命题意图】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解答这类问题的关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．，解得．III．理论基础·解题原理函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点；（2）方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫；（3）函数图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间．三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较大．【技能方法】1．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2．此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象；（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围；（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值．【易错指导】对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数在上连续；（2）满足．上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．另外需要注意的是：（1）若...
