高二数学空间中的角【本讲主要内容】空间中的角异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角【知识掌握】【知识点精析】角的计算主要包括：两条异面直线所成的角的计算、直线和平面所成的角的计算、二面角的计算三种类型。完成这几类计算的主要步骤可以用“作、证、指、算”四个字简单地表述。所谓“作”就是作出已知或所求的角；“证”是用定义或定理证明所作的角是符合要求的；“指”是指出所作的并已经证明的角即为所求的角；“算”往往是构造三角形后解三角形。这四个步骤紧密地联系在一起，步步相关一气呵成。在这四步中“作”和“证”是最关键的下面将这三类角的作法总结如下：1.两条异面直线所成角的作法几何体中给出的两条异面直线，往往是以线段的形式出现。作两条异面直线所成角的根据是定义，平移变形是主要步骤，确定角的顶点是关键。一般可从以下两种情况来考虑。（1）以这两条异面直线段的四个端点的一个点为顶点作角。一条线段保持不动而平移另一条线段。（2）以两条异面直线分别所在两个平面的交线上的一点为顶点作角。两条直线可分别在两个平面内平移。2.斜线与平面所成角的作法作斜线与平面所成的角，一般可从以下两种情况考虑。（1）在斜线上任取一点，过这点作平面的垂线，连接斜足和垂足，即构造一个直角三角形。这个直角三角形的斜边与在平面内的直角边的夹角即为这条斜线与这个平面所成的角。（2）过斜线作平面的垂面，则斜线与互相垂直的两平面交线所成锐角即为这条斜线与这个平面所成的角。3.二面角的平面角的作法作二面角的平面角有多种方法，常用的方法分为定义法、垂面法、三垂线定理法等。不过证明的最后一步还是根据二面角的平面角的定义。下面按作图方法划分为以下常用的三类。（1）直接作二面角的两边在二面角的棱上取一点，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的射线，此时所作的角即为二面角的平面角。（2）作二面角棱的垂面过二面角棱上一点，作棱的垂面，与二面角的两个半平面相交于两条射线，这两条射线所成的角即为二面角的平面角。（3）用三垂线定理先作面的垂线，再作棱的垂线在二面角两个半平面中的一个半平面内取一点，过这个点分别作另一个半平面所在平面及棱的垂线，连接两个垂足构造一个直角三角形，则两垂足间的线段与直角三角形斜边的夹角或它的补角即为这个二面角的平面角。也可以在二面角两个半平面中的一个半平面内取一点，过这个点作另一个半平面所在平面的垂线，过垂足再作二面角棱的垂线，由此构造直角三角形，则两垂足间的线段与直角三角形斜边的夹角或它的补角即为这个二面角的平面角。用心爱心专心【解题方法指导】例1.ABC—A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1，E1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AE1所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.思路：把直三棱柱补成一个直四棱柱，然后通过平移找到所成的角解：如图，把直三棱柱补形为一个直四棱柱A1B1F1C1—ABFC，取B1F1中点G1，则BG1∥AE1，∠D1BG1是所求的角，可求出cos∠D1BG1=。点评：把一个三棱柱补成一个平行六面体是常用的处理与三棱柱有关问题的方法。例2.三棱锥S—ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，求（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正切值。思路：找出所求的角，证它符合定义，然后归到某三角形中进行计算。解：（1） SC⊥SA，CS⊥SB∴SC⊥平面SAB∴∠CBS是直线BC与平面SAB所成的角，由题设知∠CBS为60°。（2） SA⊥SB，∠SBA=45°∴∠SAB=45°∴SA=SB取AB中点M，连SM、CM，则SM⊥AB。又由（1）知CS⊥平面SAB，CS⊥AB∴AB⊥平面CSM用心爱心专心∴平面ABC⊥平面SMC，作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC∴∠SCH是SC与平面ABC所成的角，令SB=a，则，∴∴点评：空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的。例3.已知正方形ABCD，PA⊥面ABCD，AB=PA=1求二面角B—PC—D的大小解：依题意可知ΔBCP≌ΔDCP作BE⊥PC于E，连结DE、BD，DE⊥PC于E∴∠BED为二面角B—PC—D的平面角在ΔBED中，BE=DE=，BD=，cos∠BED=所以二面角B—PC—D的大小为120°点评：在确定二面角的平面角时要特别注意对特殊图形特殊关系的使用。【考点...
