专题能力训练21函数与方程思想一、选择题1.函数f(x)=+a的零点为x=1,则实数a的值为()A.-2B.-C.D.22.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)3.若不等式>0的解集为{x|-12}4.(2014课标全国Ⅰ高考,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)5.已知=1,(a,b,c∈R),则有()A.b2>4acB.b2≥4acC.b2<4acD.b2≤4ac6.直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为()A.1,-1B.2,-2C.1D.-1二、填空题7.若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为.8.△ABC的三边a,b,c满足b=8-c,a2-bc-12a+52=0,则△ABC的形状是.三、解答题9.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的所有m的值都成立,求x的取值范围.10.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.11.设椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足,AB⊥AF2,且过A,B,F2三点的圆与直线x-y-3=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P(m,0),求实数m的取值范围.答案与解析专题能力训练21函数与方程思想1.B解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.故选B.2.B解析:设φ(x)=f(x)-(2x+4),则φ'(x)=f'(x)-2>0,∴φ(x)在R上为增函数.又φ(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,∴由φ(x)>0,可得x>-1.故f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).3.A解析:>0(⇔ax-1)(x+b)>0,转化为x1=-1,x2=2是方程(ax-1)(x+b)=0的两个根(a<0),即解得∴<0⇒0时,f'(x)=3ax2-6x=3ax,令f'(x)=0,得x1=0,x2=,所以f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x=处取得极小值f=1-,要使f(x)有唯一的零点,需f>0,但这时零点x0一定小于0,不合题意;当a<0时,f'(x)=3ax2-6x=3ax,令f'(x)=0,得x1=0,x2=,这时f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x=处取得极小值f=1-,要使f(x)有唯一零点,应满足f=1->0,解得a<-2(a>2舍去),且这时零点x0一定大于0,满足题意,故a的取值范围是(-∞,-2).5.B解析:依题设有5a-b+c=0,∴是实系数一元二次方程ax2-bx+c=0的一个实根;∴Δ=b2-4ac≥0.∴b2≥4ac,故选B.6.D解析:由直线方程得y=-1-(1+a)x,代入圆方程,整理得(2+2a+a2)x2+2ax+1=0.又直线与圆相切,应有Δ=4a2-4(2+2a+a2)=-8a-8=0,解得a=-1.7.解析:令y=tx,则a≥,令m=1+2t>1,则t=,∵,∴a≥.8.等腰三角形解析:因为b+c=8,bc=a2-12a+52,所以b,c是方程t2-8t+a2-12a+52=0的两实根,故Δ=(-8)2-4(a2-12a+52)=-4(a2-12a+36)≥0,即-4(a-6)2≥0,所以a=6.从而得b=c=4,因此△ABC是等腰三角形.9.解:令g(m)=(x2-1)m-2x+1为m的一次函数,m∈[-2,2]问题转化为g(m)在m∈[-2,2]上恒小于0,则解得0.故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70.当隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小值70万元.11.解:(1)连接AF1,因为AB⊥AF2,,所以AF1=F1F2,即a=2c,则F2,B.Rt△ABC的外接圆圆心为F1,半径r=|F2B|=a.由已知圆心到直线的距离为a,所以=a,解得a=2,所以c=1,b=,所求椭圆方程为=1.(2)因为F2(1,0),设直线l的方程为:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程组消去y,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=,MN的中点为.当k=0时,MN为长轴,中点为原点,则m=0.当k≠0时,MN的垂直平分线方程为y+=-.令y=0,所以m=.因为>0,所以+4>4,可得0
