37圆锥曲线中的探索性问题1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP＋OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知条件，得直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.③而A(，0)，B(0,1)，AB＝(－，1)．所以OP＋OQ与AB共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故不存在符合题意的常数k.2．已知双曲线方程为x2－＝1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．解显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．联立y－1＝k(x－1)和x2－＝1，消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，由Δ>0，得k<，x1＋x2＝，由M(1,1)为PQ的中点，得＝＝1，解得k＝2，这与k<矛盾，所以不存在满足条件的直线l.3．设椭圆E：＋＝1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)因为椭圆E：＋＝1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0.故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.要使OA⊥OB，需使x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0.又8k2－m2＋4>0，所以所以m2≥，即m≥或m≤－，因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圆为x2＋y2＝，此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆＋＝1的两个交点为(，±)或(－，±)满足OA⊥OB，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB.4．(2014·重庆)如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得DF1＝＝c，从而S△DF1F2＝DF1·F1F2＝c2＝，故c＝1，从而DF1＝.由DF1⊥F1F2，得DF＝DF＋F1F＝，因此DF2＝.所以2a＝DF1＋DF2＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)，再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得·＝－1.而求得y1＝，故y0＝.圆C的半径CP1＝＝.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2＋(y－)2＝.5．(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交...
