突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018福建厦门质检一,20)设O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为2❑√55.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),⃗PA·⃗PB=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√22,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆C的左、右焦点,M为椭圆C上的任意一点,△MF1F2的面积的最大值为1,A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点,直线x=a2c与x轴的交点为P,直线PB交椭圆C于另一点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线AE过定点.3.(2018广东一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32,且C过点1,❑√32.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线l的斜率为定值.4.已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.5.(2018江西六校联考,20)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,其中右焦点为抛物线y2=4x的焦点,点M-1,❑√22在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A,B两点,过点M-1,❑√22且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线l是否存在?若存在,请求出l的斜率;若不存在,请说明理由.6.(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知M❑√3,12是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2❑√3.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.参考答案突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解(1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=12AF1,MF=12AF,∴|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5, e=ca=2❑√55,∴c=2❑√5,∴b=❑√5,∴椭圆C的方程为x225+y25=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立{y=kx+m,x225+y25=1,消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2, P(0,1),⃗PA·⃗PB=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去).∴直线l过定点(0,2).2.(1)解 当M为椭圆C的短轴端点时,△MF1F2的面积的最大值为1,∴12×2c×b=1,∴bc=1, e=ca=❑√22,a2=b2+c2,∴a=❑√2,b=1,∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)证明设B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且x1≠x2, x=a2c=2,∴P(2,0),由题意知BP的斜率必存在,设直线BP的方程为y=k(x-2),代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,由Δ>0得k2<12,x1+x2=8k22k2+1,x1·x2=8k2-22k2+1. x1≠x2∴AE斜率必存在,AE:y+y1=y1+y2x2-x1(x-x1),由对称性易知直线AE过的定点必在x轴上,则当y=0时,得x=y1(x2-x1)y1+y2+x1=y1x2+y2x1y1+y2=k(x1-2)x2+k(x2-2)x1k(x1+x2)-4k=2x1x2-2(x1+x2)x1+x2-4=2·8k2-22k2+1-2·8k22k2+18k22k2+1-4=1,即在k2<12的条件下,直线AE过定点(1,0).3.(1)解由题意可得{ca=❑√32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得{a=2,b=1.故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),由{y=kx+m,x24+y2=1,消去y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 直线l与椭圆交于两点,∴Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,∴k2=y2x2·y1x1=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2,整理得km(x1+x2)+m2=0,∴-8k2m21+4k2+m2=0,又m≠0,所以k2=14,结合图像...
