1.三角函数与解三角形1．已知函数f(x)＝mcosx＋sin的图象经过点P.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若f(α)＝，α∈，求sinα的值．解(1)由题意可知f＝，即＋＝，解得m＝1.所以f(x)＝cosx＋sin＝cosx＋sinx＝sin，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由f(α)＝，得sin＝.所以sin＝.又α∈，所以α＋∈，sin＝<，所以cos＝－＝－.所以sinα＝sin＝×－×＝.2．已知△ABC中，AC＝2，A＝，cosC＝3sinB.(1)求AB；(2)若D为BC边上一点，且△ACD的面积为，求∠ADC的正弦值．解(1)因为A＝，所以B＝－C，由cosC＝3sinB得，cosC＝sin，所以cosC＝＝cosC－sinC，所以cosC＝sinC，即tanC＝.又因为C∈(0，π)，所以C＝，从而得B＝－C＝，所以AB＝AC＝2.(2)由已知得·AC·CDsin＝，所以CD＝，在△ACD中，由余弦定理得，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcosC＝，即AD＝，由正弦定理得，＝，故sin∠ADC＝＝.3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋＝2cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．解(1)根据倍角公式cos2x＝2cos2x－1，得2cos2A＋＝2cosA，即4cos2A－4cosA＋1＝0，所以(2cosA－1)2＝0，所以cosA＝，又因为0＜A＜π，所以A＝.(2)根据正弦定理＝＝，得b＝sinB，c＝sinC，所以l＝1＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)，因为A＝，所以B＋C＝，所以l＝1＋＝1＋2sin，因为0＜B＜，所以l∈(2,3]．4．已知函数f(x)＝sin2ωxcosφ＋cos2ωxsinφ＋cos(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点.(1)求ω和φ的值；(2)求函数y＝f(2x)，x∈的值域．解(1)f(x)＝sin2ωxcosφ＋sinφ－sinφ＝(sin2ωxcosφ＋cos2ωxsinφ)＝sin(2ωx＋φ)．由题意可知，T＝2π＝，则ω＝±，当ω＝时，把点代入f(x)＝sin(2ωx＋φ)中，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，而0＜φ＜π，解得φ＝.当ω＝－时，把点代入f(x)＝sin(2ωx＋φ)中，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，而0＜φ＜π，解得φ＝.(2)由题意可知，当ω＝时，f(2x)＝sin，0≤x≤，∴≤2x＋≤，则函数f(2x)的值域为.当ω＝－时，f(2x)＝sin＝sin，∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，则函数f(2x)的值域为.综上，函数f(2x)的值域为.5.已知函数f(x)＝1＋2sincos－2cos2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A)＝，2sinA＝sinB＋sinC，△ABC的面积为，求b的值．解(1)f(x)＝sinx－cosx＝2sin，∴f(A)＝2sin，由题意知，0
