专题20.坐标系与参数方程极坐标方程及其应用1．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：ρ＝2asinθ.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．极坐标与直角坐标的互化方法点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解析】(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．【对点训练】1．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ<2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．【解析】：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．2．(2019·福建质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：θ＝(ρ>0)，A(2，0)．(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．【解析】：(1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ.(2)法一：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1，依题意，点A(2，0)到曲线θ＝(ρ>0)的距离d＝|OA|sin＝1.所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－.法二：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，即|OP|＝2，将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1，因为A(2，0)，所以∠POA＝，所以S△APQ＝S△OPA－S△OQA＝|OA||OP|sin－|OA||OQ|sin＝×2×2×－×2×1×＝－.参数方程及其应用1．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．设P是直线上的任意一点，则t表示有向线段P0P的长度．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为(1，)，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【解析】：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的普通方程为y＝tanα·(x－1)．由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0.所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)因为点M的极坐标为(1，)，所以点M的直角坐标为(0，1)．所以tanα＝－1，直线l的倾斜角α＝.所以直线l的参数方程为(t为参数)．代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.设A，B两点对...
