3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1.在2+,i,0,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:i,(1-)i是纯虚数,2+,0,0.618是实数,8+5i是虚数.答案:C2.如果C,R,I分别表示复数集,实数集和纯虚数集,其中C为全集,则()A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=∅解析:显然,实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的.答案:D3.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.B.2C.0D.1解析:由复数相等的充要条件知所以x=1,x+y=0,故2x+y=1.答案:D4.以2i-的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是()A.2-2iB.2+iC.-+iD.+i解析:2i-的虚部为2,i+2i2=-2+i的实部为-2,所以新复数为2-2i.答案:A5.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,可得m=-1.答案:B二、填空题6.已知复数z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为________.解析:z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或m=1.答案:0或17.已知=(x2-2x-3)i(x∈R),则x=________.解析:因为x∈R,所以∈R,由复数相等的条件得:解得x=3.答案:38.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是________.1解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0且|a-1|-1≠0,得a=-1.因为复数不是纯虚数,所以a≠-1.答案:{a|a≠-1}三、解答题9.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?解:(1)z∈R,则m2+2m-3=0且m-1≠0解之得m=-3∴当m=-3时,z为实数.(2)要使z为虚数,需满足m2+2m-3≠0,且m-1≠0.解得m≠1且m≠-3.(3)要使z为纯虚数,需满足=0,且m2+2m-3≠0,解之得m=0或m=-2.10.已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:因为M∪P=P,所以M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i得解得m=2.综上可知m=1或m=2.B级能力提升1.已知复数z1=a+bi(a,b∈R)的实部为2,虚部为1,复数z2=(x-1)+(2x-y)i(x,y∈R).当z1=z2时x,y的值分别为()A.x=3且y=5B.x=3且y=0C.x=2且y=0D.x=2且y=5解析:易知z1=2+i由z1=z2,即2+i=(x-1)+(2x-y)i(x,y∈R)∴解得x=3且y=5.答案:A2.复数z=cos+sini,且θ∈,若z为纯虚数,则θ的值为________.解析:z=cos+sini=-sinθ+icosθ.当z为纯虚数时又θ∈,所以θ=0.答案:03.如果(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.解:因为(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以(m+n)-(m2-3m)i是实数.从而有由m2-3m=0得m=0或m=3.2当m=0时代入(m+n)>-1,得00,所以n=1;当m=3时,代入(m+n)>-1,得n<-1,与n是自然数矛盾,舍去.综上可知,m=0,且n=1.3