3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋，i，0，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数．答案：C2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则()A．C＝R∪IB．R∪I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝∅解析：显然，实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的．答案：D3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.B．2C．0D．1解析：由复数相等的充要条件知所以x＝1，x＋y＝0，故2x＋y＝1.答案：D4．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A．2－2iB．2＋iC．－＋iD.＋i解析：2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以新复数为2－2i.答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4B．－1C．－1或4D．－1或6解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.答案：0或17．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．解析：因为x∈R，所以∈R，由复数相等的条件得：解得x＝3.答案：38．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．1解析：若复数为纯虚数，则有a2－a－2＝0且|a－1|－1≠0，得a＝－1.因为复数不是纯虚数，所以a≠－1.答案：{a|a≠－1}三、解答题9．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？解：(1)z∈R，则m2＋2m－3＝0且m－1≠0解之得m＝－3∴当m＝－3时，z为实数．(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且m－1≠0.解得m≠1且m≠－3.(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解之得m＝0或m＝－2.10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解：因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.B级能力提升1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为()A．x＝3且y＝5B．x＝3且y＝0C．x＝2且y＝0D．x＝2且y＝5解析：易知z1＝2＋i由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)∴解得x＝3且y＝5.答案：A2．复数z＝cos＋sini，且θ∈，若z为纯虚数，则θ的值为________．解析：z＝cos＋sini＝－sinθ＋icosθ.当z为纯虚数时又θ∈，所以θ＝0.答案：03．如果(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．解：因为(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以(m＋n)－(m2－3m)i是实数．从而有由m2－3m＝0得m＝0或m＝3.2当m＝0时代入(m＋n)>－1，得00，所以n＝1；当m＝3时，代入(m＋n)>－1，得n<－1，与n是自然数矛盾，舍去．综上可知，m＝0，且n＝1.3
