高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差例题与探究 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

2.3离散型随机变量的均值与方差典题精讲【例1】抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为()A.EX=0,DX=1B.EX=21,DX=21C.EX=0,DX=21D.EX=21,DX=1思路解析:要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的分布列为X1-1P0.50.5所以EX=1×0.5+(-1)×0.5=0，DX=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.故选A.答案:A绿色通道：求离散型随机变量的均值或方差，列分布列是关键.黑色陷阱：列分布列关键在于清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时要能正确求出每一个结果出现的概率.变式训练抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的标准差σX=___________,E(5X+1)=___________,D(3X+4)=___________.思路解析:在例1的基础上，利用σX=DX=1,E(5X+1)=5EX+1=1,D(3X+4)=9DX=9.答案:119【例2】设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X1和X2（单位：cm）,其分布列为X18283909298P0.20.20.20.20.2X28286.59092.594P0.20.20.20.20.2求EX1,EX2,DX1,DX2，并分析两门火炮的优劣.思路分析:当EX1=EX2时，要通过DX1,DX2来比较两门火炮的优劣.解：根据题意，有EX1=82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2=89,EX2=(82+86.5+90+92.5+94)×0.2=89，DX1=(82-89)2×0.2+(83-89)2×0.2+(90-89)2×0.2+(92-89)2×0.2+(98-89)2×0.2=35.2,DX2=(82-89)2×0.2+(86.5-89)2×0.2+(90-89)2×0.2+(92.5-89)2×0.2+(94-89)2×0.2=18.5,∵EX1=EX2，故两门火炮的平均性能相当.但DX1>DX2，故乙火炮相对性能较稳定，则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定.绿色通道：在实际问题中仅靠离散型随机变量的均值还不能完善地说明随机变量的分布特征，有时还要研究其偏离均值的平均程度即方差.1黑色陷阱：不能以为两个随机变量的均值相同了，就认为两者的优劣性相同，应该比较两者的方差.变式训练设X是一个随机变量，其分布列如下表，试求EX,DX.X-101P211-2qq2解:根据分布列的性质可得21+1-2q+q2=1，解得q=221，∴EX=-1×21+0×(2-1)+1×(223)=1-2，DX=(-2+2)2×21+(-1+2)2×(2-1)+(2)2×(223)=2-1.问题探究问题：有了离散型随机变量的分布列，就能明确随机变量的取值规律，为何还要研究离散型随机变量的期望和方差？这在现实生活中有什么作用？导思：离散型随机变量的期望或均值反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量的方差则反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.探究：离散型随机变量的期望与方差都是随机变量的重要特征数，是对于随机变量的一种简明的描写，虽然随机变量的分布列决定了随机变量的取值规律，但是研究随机变量的期望与方差有其必要性.因为随机变量的分布列往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，如随机变量取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与分散程度等.且在实际应用中，人们并不知道随机变量的确切分布，因此往往有必要知道它的一切概率特征，这也是概率论和数理统计的重要任务之一.2