江苏省扬州市高考数学考前指导 导数与函数练习题-人教版高三全册数学试题VIP免费

导数与函数两题题目1：已知（），（）.（Ⅰ）判断函数的单调性，给出你的结论；（Ⅱ）设，讨论函数的图象与直线（）公共点的个数；（Ⅲ）若数列的各项均为正数，，在时，（），求证：.变式：求证：（）.解：（Ⅰ）求导，由得.当时，；当时，.所以函数在上是增函数，在上是减函数.（Ⅱ）当时，函数的图象与直线（）公共点的个数等价于曲线与直线（）公共点的个数.令，则，所以.当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数.所以，在上的最大值为，且，.如图：于是xyO1e1e1①当时，函数的图象与直线（）有2个公共点；②当时，函数的图象与直线（）有1个公共点；③当时，函数的图象与直线（）有0个公共点.（Ⅲ）由题意，正项数列满足：，由（Ⅰ）知：，即有不等式（）由已知条件知，，故，所以当时，，，，，，以上格式相乘得:，又，故，即，对也成立.所以有（）（）.理科生此题也可用数学归纳法证明,证明如下：当时，，即（）成立；假设时，成立，那么，当时，由（Ⅰ）知：，即有不等式（）于是，即有也成立，综上可知（）式成立.变式的证明如下：由，得，所以有，即（）.说明：此题是一道函数、数列与不等式的综合问题，共设置三问，难易梯度明显.第问（Ⅰ）考查基本函数的单调性，比较简单；第（Ⅱ）问在考查函数单调性的同时，还重点考查了函数的2图象，渗透数形结合思想，由于解决时要将原问题“讨论函数的图象与直线（）公共点的个数”转化为“讨论曲线与直线（）公共点的个数”，这一转化有一定的思维难度，因此难度明显大于第（Ⅰ）问；第（Ⅲ）问考查数列与不等式，证明数列与不等式时，代数变形的难度较大，其变形的目的性不好把控，是真正的压轴点所在.题目的来源与发展：此题的第（Ⅲ）问用了第（Ⅰ）问的更深一步的结论，也是一个常遇到的结论：对于，不等式恒成立，当且仅当时，等号成立，从图象上看就是直线是对数函数在处的切线，且除了切点外，对数函数的图象恒在直线图象的下方，其关系如图：因此我们就有这样的结论：直线（）与函数的图象的公共点的个数，当时，有2个公共点；当时，有1个公共点；当时，有0个公共点.这么看，第（Ⅱ）问与第（Ⅰ）也有渊源，因为“设，讨论函数的图象与直线（）公共点的个数”就是等价于研究“方程（）解的个数”，我们对方程作变形处理得，即，若令，，即有，这样问题就回归到直线（）与函数的图象的公共点的个数的问题上.这么看，本题的第（Ⅱ）（Ⅲ）两问，都是在简单的第（Ⅰ）问的基础上向前发展起来的。对于直线与也有类似的结论.题目2：已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）求的单调区间；11xyO1yxlnyx3（Ⅱ）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；（Ⅲ）若存在不等实数，使得，证明：.解：（Ⅰ）函数的单调递减区间是，单调递增区间为.（Ⅱ）不存在正实数使得成立.事实上，由（Ⅰ）知函数在上递增，而当，有，在上递减，有，因此，若存在正实数使得，必有.令，则，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，故不存在正实数使得成立.（Ⅲ）若存在不等实数，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，.①若，则，由（Ⅰ）知：函数在上单调递减，所以；②若，由（Ⅱ）知：当，则有，而所以，即而，由（Ⅰ）知：函数在上单调递减，所以，即有，由（Ⅰ）知：函数在上单调递减，所以；综合①，②得：若存在不等实数，使得，则总有.说明：由轴对称函数的性质启发命制该题，将函数的单调性，方程的根、导函数，不等式知识融为一体，考查学生的等价转化能力，分析问题，解决问题的能力。分步设问，逐层递进，叙述简洁，具有较高的区分度。题目的来源与发展：（1）其实本题也来源于直线与的关系.因为4，令，则得，则转化为直线与的关系；（2）若函数的图象关于对称，则有；因此轴对称函数一定会有函数值相等的点，但有函数值相等的点，未必有对称轴，本题第（Ⅱ）（Ⅲ）问就是基于弄清楚这一点来命制的，因此掌握概念的本质是关键.5