第2讲综合大题部分1．已知在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C相交于A，B两点，设点Q在直线x＋y－1＝0上，且满足OA＋OB＝tOQ(O为坐标原点)，求实数t的最小值．解析：(1)因为点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以|PN|－1＝|x|，将点P坐标代入，并整理得y2＝4x.故点P的轨迹C的方程是y2＝4x.(2)由题意知直线AB的斜率存在且与抛物线y2＝4x有两个交点，设直线AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0(k≠0)．Δ＝16(2k2＋1)>0恒成立，所以x1＋x2＝，x1·x2＝4，因为OA＋OB＝tOQ，所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，即x＝＝，y＝＝＝＝，又点Q在x＋y－1＝0上，所以＋－1＝0.所以t＝4(＋＋1)＝4(＋)2＋3≥3.故实数t的最小值为3.2．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，若l交椭圆C于A、B两点，点A关于原点O的对称点为D，求△ABD的面积的取值范围．解析：(1)∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为，∴2a＝4，e＝＝，又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝，则椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)∵D是点A关于原点的对称点，∴原点O是线段AD的中点，则S△ABD＝2S△ABO＝2××|AB|×dO＝|AB|×dO(dO为点O到直线l的距离)，由直线l过右焦点F，且不与坐标轴平行，可设直线l：x＝my＋1，m≠0，联立方程得得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得|AB|＝|y1－y2|＝＝.又dO＝，则S△ABD＝×＝＝＝，令t＝∈(1，＋∞)，则y＝3t＋在(1，＋∞)上单调递增，则3t＋∈(4，＋∞)，则S△ABD＝∈(0,3)，即△ABD的面积的取值范围为(0,3)．3．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程()2＝4·即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[6，]．4．(2018·高考天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|＝.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意知，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y，可得x2＝.由方程组消去y，可得x1＝.由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或k＝－.当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．所以，k的值为－.
