【课时训练】解三角形的综合应用一、选择题1．(2018济南调研)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里【答案】A【解析】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理，得＝，解得BC＝10.2．(2018河南信阳模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m【答案】D【解析】－＝10，解得AB＝5(＋1)．故选D.3．(2019内蒙古包头调研)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【答案】C【解析】如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°.从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，1于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．4．(2018福州质检)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝.又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°.所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5．(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.则cosA＝＞0，因为0＜A＜π，所以0＜A＜.又a为最大边，所以A＞.因此角A的取值范围是.故选D.6．(2018天津新华中学期末)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m【答案】A【解析】设水柱的高度是hm，水柱底端为点C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝h.在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.二、填空题7．(2018宜昌调研)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】102【解析】如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理，得MN＝＝＝10(m)．8．(2018山西第三次四校联考)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.【答案】32【解析】设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理，得＝，∴v＝32.9．(2018贵阳模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．【答案】50【解析】如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理，得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.10．(2017浙江，14)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.【答案】，【解析】取BC的中点E，DC的中点F，由题意，得AE⊥BC，BF⊥CD，△ABE中，cos∠ABC＝＝，∴cos∠DB...
