专题18平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义热点题型一平面向量的有关概念例1、给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b。其中真命题的序号是__________。解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。②正确． AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC。【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。(3)是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量。【举一反三】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0。上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3热点题型二平面向量的线性运算例2、【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.【答案】【解析】,则.【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________。(2)已知P，A，B，C是平面内四点，且PA＋PB＋PC＝AC，那么一定有()A.PB＝2CPB.CP＝2PBC.AP＝2PBD.PB＝2AP解析：(1) AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2。(2) PA＋PB＋PC＝AC＝PC－PA，∴PB＝－2PA＝2AP。答案：（1）2（2）D【提分秘籍】向量线性运算的方法技巧向量线性运算，要转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。【举一反三】在△ABC中，已知D是AB边上一点，CD＝CA＋λCB，则实数λ＝()A．－B．－C.D.答案：D解析：如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则CD＝CE＋CF。因为CD＝CA＋λCB，所以CE＝CA，CF＝λCB。由△ADE∽△ABC，得＝＝，所以ED＝CF＝CB，故λ＝。热点题型三共线向量定理及其应用例3．【2017江苏，16】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.【解析】解：（1）因为，，a∥b，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.【变式探究】设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)。求证：A、B、D三点共线。(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线。解析：(1)证明： AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB。∴AB、BD共线，又 它们有公共点B，∴A、B、D三点共线。(2) ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb。∴(k－λ)a＝(λk－1)b。 a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1。【提分秘籍】1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值。(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛。2．证明三点共线的方法若AB＝λAC，则A，B，C三点共线。【举一反三】已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为__________。答案：11.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。【考点...
