高二理科试验班上学期数学周练习——不等式一、选择题(每小题5分,满分40分)1.下列不等式正确的是(B)A.7-5>5-3B.3+5>2+6C.7+13>3+11D.5+326>8因为7-5=275,5-3=253,所以275<253,故A错;又(3+5)2=8+215,(2+6)2=8+212,故B对;又(7+13)2=20+364,(3+11)2=20+396,故C错;又5+326<5+327=8,故D错.2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(C)A.ab≤B.ab≥C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析:(方法1)由≥得ab≤()2=1,又a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,a2+b2≥2.(方法2,特值法)取a=0,b=2满足a+b=2,代入选项可排除B、D;又取a=b=1满足a+b=2.但ab=1,可排除A.3.已知x>y>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是(C)A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|解析:由已知3x>x+y+z=0,3z0,z<0.由,得xy>xz.4.若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)解析:可行域为△ABC,如图,当a=0时,显然成立.当a>0时,直线ax+2y-z=0的斜率k=->kAC=-1,a<2;当a<0时,k=-<kAB=2,∴a>-4.综合得-4<a<2.5.若不等式f(x)=2axxc>0的解集|21xx,则函数y=f(-x)的图象为(B)依题意,有42010acac,解得12ac,f(x)=22xx,f(-x)=22xx,开口向下,与x轴交点为2,-1,对称轴为x=12.6.设x、y均为正实数,且+=1,则xy的最小值为(D)A.4B.4C.9D.161解析:由+=1可得xy=8+x+y,∵x,y均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2(当且仅当x=y时等号成立),即xy-2-8≥0,可解得≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16.7.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为(D)A.-5B.1C.2D.3不等式组所围成的区域如图所示.其中A(1,0),B(0,1),C(1,1+a),且a>-1.∵S△ABC=2,∴(1+a)×1=2,解得a=3.8.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(C)A.8B.6C.4D.2(x+y)(+)=1+a·++a≥a+1+2=a+2+1,当且仅当a·=等号成立,所以()2+2+1≥9,即()2+2-8≥0,得≥2或≤-4(舍),所以a≥4,即a的最小值为4.一、选择题答案题号12345678答案二、填空题(每小题6分,满分12分)9.若不等式142xxa≥0在[1,2]上恒成立,则a的取值范围为.a≤142xx在[1,2]上恒成立,a≤(142xx)min=(2(21)1x)min=0.10.设m为实数,若⊆{(x,y)|x2+y2≤25},则m的取值范围是____________.由题意知,可行域应在圆内,如图,如果-m>0,则可行域取到x<-5的点,不能在圆内;故-m≤0,即m≥0.当mx+y=0绕坐标原点旋转时,直线过B点时为边界位置.此时-m=-,∴m=.0≤∴m≤.三、解答题(共3小题,每小题满分16分,共48分)11.已知a>b>0,c<d<0,比较与的大小.解析:-==.因为a>b>0,c<d<0,所以a-c>0,b-d>0,b-a<0,又-c>-d>0,则有-ac>-bd,即ac<bd,则bd-ac>0,所以(b+a)(b-a)-(bd-ac)<0,所以-=<0,因此<..12.已知0<α-β<,<α+2β<,求α+β的取值范围是.设α+β=A(α-β)+B(α+2β)=(A+B)α+(2B-A)β,则∴∴α+β=(α-β)+(α+2β).∵α-β∈(0,),∴(α-β)∈(0,).∵α+2β∈(,),∴(α+2β)∈(,π).∴α+β∈(,).∴α+β的取值范围是(,).13.某化工企业2007年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备2姓名___________座号______老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?(1)xxxy)2642(5.0100,即5.1100xxy(0x);(2)由均值不等式得:5.215.110025.1100xxxxy(万元)当且仅当xx100,即10x时取到等号.答:该企业10年后需要重新更换新设备.3