高中数学一类函数在闭区间上的最值问题专题辅导VIP免费

高中数学一类函数在闭区间上的最值问题某些函数在闭区间上的最值，经过等价转化，均可化为闭区间上二次函数的最值。求解的关键是按对称轴与区间的位置进行分类。本文对常见的“对称轴变化但区间确定”及“对称轴确定但区间变化”两种类型例说如下：1.“轴变区间定”型例1.若fxaaxx()cossin12222的最大值为ga()，求ga()表达式。分析：视cosx为整体，可将fx()转化为关于cosx的二次函数，然后利用余弦函数值域确定。解：fxxaaa(cos)cos22122122是关于cosx的二次函数，它的对称轴为：cosxa2注意到11cosx所以当agafa20114时，()()；当agaf2011时，()()所以gaaaa()()()14010，，例2.已知当02时，cossin2222mm对任意实数恒小于零，求实数m的取值范围。分析：设fmm()cossin2222，则原题等价于当02时，f()最大值恒小于零。解：设fmmm()(sin)()(sin)222101，对称轴sinm。（1）当m0时，fm()max210所以m12，于是120m（2）当01mfmm()max2210所以1212m于是01m（3）当120mf，()max于是m1综上所述，当m12时，cossin2222mm在02，上恒小于零。例3.已知x01，时，不等式xxxx22110cos()()sin恒成立，求θ的取值范围。分析：将原不等式整理成关于x的一元二次不等式，得：(sincos)(sin)sin12102xx设fxxx()(sincos)(sin)sin1212用心爱心专心当x01，时，不等式fx()0恒成立的必要条件是f()00，且f()10，即sin0，且cos0，由此可将取值范围缩小到第一象限，并且可以确定fx()图象是开口向上的抛物线，在此基础上，再寻求fx()0恒成立，即fx()最小值恒大于0的θ的取值范围。解：原不等式化为：(sincos)(sin)sin12102xx设fxxxx()(sincos)(sin)sin121012，，要使x01，时，fx()0恒成立，必须使f()00且f()10即sin0且cos0，则θ是第一象限角，sincos10此时抛物线的开口向上，其对称轴方程为：x2121sin(sincos)因为21210(sincos)sin所以021211sin(sincos)所以fx()在，01上最小值为顶点纵坐标，即fx()(sincos)sin(sin)(sincos)min4121412当x01，时，fx()0恒成立充要条件是fx()最小值取正值。综上所述，得fx()0sincos(sincos)sin(sin)sin00412102222122kk22212512kkkk所以2122512kkkZ()说明：先计算二次函数fx()两个特殊值f()0，f()1，这一招非常高明，不仅缩小θ的取值范围，而且确定了抛物线对称轴的位置（即顶点横向位置），从而避免了求fx()最值的分类讨论，使解题过程大大简化。2.“轴定区间变”型例4.已知函数fxxx()223，若xtt，2时，求函数fx()的最值。分析：由于对称轴是确定的，所以只要根据对称轴x1与区间tt，2的三种位置关系进行讨论，就容易求出最值。解：函数fx()图象的对称轴为x1（1）当12t，即t1时fxftttfxfttt()()()()maxmin2223223（2）当ttt2212，即10232tfxfttt时，()()maxfxf()()min14用心爱心专心（3）当ttt122即01tfxftttfxf()()()()maxmin223142（4）当1t，即t1时，fxftttfxfttt()()()()maxmin2232322设函数最大值记为gt()，最小值记为()t，则有gttttttt()()()22230230，，()()()()tttttttt22231411231，，，例5.对xaa，1时，xxa2恒为正，求实数a的取值范围。分析：设fxxxa()2，要xxa2在xaa，1时恒...