第07讲函数的奇偶性的判断和证明【知识要点】一、函数的奇偶性的定义对于函数，其定义域关于原点对称，如果恒有，那么函数为奇函数；如果恒有，那么函数为偶函数.二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、奇函数在原点有定义时，必有.三、判断函数的奇偶性的方法判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法.1、定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2、和差判别法对于函数定义域内的任意一个，若，则是奇函数；若，则是偶函数.3、作商判别法对于函数定义域内任意一个，设，若，则是奇函数，，则是偶函数.【方法讲评】方法一定义法使用情景具体函数和抽象函数都适用.解题步骤首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）（2）【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数.(2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简.【例2】定义在实数集上的函数，对任意，有且①求证：②求证：是偶函数【解析】证明：①令，则 ∴②令，则∴∴是偶函数【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如等.【例3】判断函数的奇偶性【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论.（2）注意，当求要代入下面的解析式，因为,不是还代入上面一段的解析式.【反馈检测1】已知（1）判断的奇偶性；（2）求的值域．【反馈检测2】已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.（1）证明函数是奇函数；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.方法二和差判别法使用情景一般与对数函数指数函数有关.解答步骤对于函数定义域内的任意一个，若，则是奇函数；若，则是偶函数.【例4】判断函数的奇偶性.【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简捷高效.【反馈检测3】已知函数.（1）求的定义域；（2）判定的奇偶性；（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【例5】判断函数的奇偶性.【解析】由题得，因为，所以，所以是偶函数.【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效.方法三作商判别法使用情景一般含有指数函数运算.解答步骤对于函数定义域内任意一个，设，若，则是奇函数，，则是偶函数.【例6】证明函数是奇函数.【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作商判别法可以化繁为简，简捷高效.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第07讲：函数的奇偶性的判断和证明参考答案【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）．【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）或.【反馈检测2详细解析】（1）因为有，令，得，所以，令可得：所以，所以为奇函数.（2）是定义在上的奇函数，由题意设，则由题意时，有，是在上为单调递增函数；（3）因为在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，所以要使<，对所有恒成立，只要，即，令由得...
