第四章第4节数系的扩充与复数的引入[基础训练组]1．(导学号14577414)(2018·渭南市一模)已知复数z＝，则z＝()A．－2iB．－iC．2iD．i解析：B[z＝＝＝＝i，则z＝－i.故选B.]2．(导学号14577415)(2018·张掖市三模)复数的虚部是()A.B．－C.iD．－i解析：B[∵＝＝－i，∴复数的虚部是－.故选B.]3．(导学号14577416)(2018·菏泽市一模)若复数z满足z－1＝(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：D[z－1＝＝＝＝－2i，∴z＝1－2i，z在复平面内对应的点(1，－2)位于第四象限．故选D.]4．(导学号14577417)(2018·天津和平区四模)设a为实数，i是虚数单位，若＋是实数，则a等于()A．－1B．1C．2D．－3解析：B[∵a为实数，i是虚数单位，且＋＝＋＝＋＝＋是实数，∴1－a＝0，∴a＝1，故选B.]5．(导学号14577418)(2018·开封市5月模拟)已知复数z满足z(1＋i)3＝1－i，则复数z对应的点在()A．直线y＝－x上B．直线y＝x上C．直线x＝－上D．直线y＝－上解析：C[由z(1＋i)3＝1－i，得z＝＝＝＝＝－＝－，∴复数z对应的点在直线x＝－上．故选C.]6．(导学号14577419)(2018·丹东市、鞍山市、营口市一模)复数＝A＋Bi，(m，A，B∈R)且A＋B＝0，则m的值是()A.B.C．－D．2解析：B[因为＝A＋Bi，所以2＋mi＝(A＋Bi)(1＋2i)，可得A－2B＝2,2A＋B＝m,解得5(A＋B)＝3m－2＝0，所以m＝.故选B.]7．(导学号14577420)(2018·惠州市三调)若复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________.解析：由z·i＝1＋i，得z＝＝＝1－i，∴z＝1＋i.答案：1＋i8．(导学号14577421)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________.解析：∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.答案：9．(导学号14577422)计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10．(导学号14577423)实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.[能力提升组]11．(导学号14577424)(2018·龙岩市一模)已知纯虚数z满足(1－2i)z＝1＋ai，则实数a等于()A.B．－C．－2D．2解析：A[∵(1－2i)z＝1＋ai，∴(1＋2i)(1－2i)z＝(1＋2i)(1＋ai)，∴5z＝1－2a＋(2＋a)i，即z＝＋i.∵z为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝.故选A.]12．(导学号14577425)如图，在复平面内，已知复数z1，z2，z3对应的向量分别是OA，OB，OC，i是虚数单位，若复数z＝，则＝()A．3B.C.D.解析：A[由题图可知，z1＝3＋i，z2＝1－2i，z3＝－2＋2i，则z＝＝＝－，∴z＋i＝－＋i，＝＝3，故选A.]13．(导学号14577426)(2018·厦门市一模)复数z满足z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则z的模为________.解析：∵z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，∴z(1＋i)(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴2z＝1－3i，则z＝－i，∴|z|＝＝.答案：14．(导学号14577427)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2＜a＜6.∴实数a的取值范围是(2,6)．
