课时分层作业(十四)求导法则及其应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案]A2．若f(x)＝，则f(x)的导数是()A.B.C.D.A[f′(x)＝＝.]3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D.B[y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.]4．函数f(x)＝x＋xlnx在(1,1)处的切线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y＋1＝0D．2x－y＋1＝0B[∵f′(x)＝(x＋xlnx)′＝1＋x′lnx＋x(lnx)′＝1＋lnx＋1＝2＋lnx，∴f′(1)＝2＋ln1＝2，∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]5．函数y＝cos2x＋sin的导数为()A．－2sin2x＋B．2sin2x＋C．－2sin2x＋D．2sin2x－A[y′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋·cos1＝－2sin2x＋.]二、填空题6．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e)[设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．]7．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________.－[∵f′(x)＝f′cosx－sinx，∴f′＝f′cos－sin＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′＝－cos－sin＝－.]8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.2sin2x[∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.]三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝esinx；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．[解](1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2)－(－4x)＝.(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝＝.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.2令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.11．(多选题)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则实数a的值为()A．－B．－1C．－D．7BC[设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，y0)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又点(1,0)在切线上，故3x－2x＝0，即x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切得a＝－.当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1.故选BC.]12．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.B.C.D.D[因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈.]13．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为______.5x＋y－3＝0[因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.]14．(一题两空)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)＝________，其取值范围是________．2sinθ＋[，2][f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，3∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.∵θ∈，∴sin∈，∴2sin∈[，2]．]15．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.∴a的取值范围为∪.4
