【高考领航】2017届高考数学大一轮复习演练经典习题1文北师大版1．已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e－xx(x－2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0,2)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增．故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l在x轴上的截距为m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2＋3，＋∞)．综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2＋3，＋∞)．2．(2014·高考湖南卷)已知常数a>0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)>0，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝－＝.(*)当a≥1时，f′(x)>0.此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0
0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a－且x≠－2，所以－2>－，－2≠－2.解得a≠.此时，由(*)式易知，x1，x2，分别是f(x)的极小值点和极大值点．而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－＋ln(1＋ax2)－＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2＋－2.令2a－1＝x，由0g(1)＝0.故当0.综上所述，满足条件的a的取值范围为.3．(2016·石家庄市高三模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax－1(e为自然对数的底数)．(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1) 当a＝1时，f(x)＝ex＋x－1，f(1)＝e，f′(x)＝ex＋1，f′(1)＝e＋1，∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e＋1)(x－1)，即y＝(e＋1)x－1.设切线与x、y轴的交点分别为A、B，令x＝0得，y＝－1，令y＝0得，x＝，∴A(，0)，B(0，－1)，S△OAB＝××1＝.∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.(2)由f(x)≥x2(x∈(0,1))得，a≥，令h(x)＝＝＋x－，则h′(x)＝1－－＝，令k(x)＝x＋1－ex，则k′(x)＝1－ex， x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－ex＜0，k(x)在x∈(0,1)上为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0.又x－1＜0，x2＞0，∴h′(x)＝＞0，∴h(x)在x∈(0,1)上为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e即可满足题意．4．(2014·高考安徽卷)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1x2时，f′(x)<0；当x10.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和...
