第一讲直线与圆配套作业一、选择题1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(D)A．2B．1C．0D．－1解析：解法一将选项分别代入题干中观察，易求出D符合要求．故选D.解法二 直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，∴a(a＋2)＝－1.∴a＝－1.故选D.2.(2015·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(A)A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝2D．(x－2)2＋(y－1)2＝2解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.3．(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(D)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(C)A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心解析：解法一圆心C(0，0)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝≤＜＝r，且圆心C(0，0)不在该直线上．解法二直线kx－y＋1＝0恒过定点(0，1)，而该点在圆C内，且圆心不在该直线上．故选C.5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(B)A．10B．20C．30D．40解析：由x2＋y2－6x－8y＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心为(3，4)，半径为5.又点(3，5)在圆内，则最长弦|AC|＝10，最短的弦|BD|＝2·＝2＝4，∴S四边形ABCD＝×10×4＝20.6．(2015·新课标Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(B)A.B.C.D.解析：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B.二、填空题7．(2014·陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：因为圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，所以圆心坐标为(0，1)．所以圆的标准方程为：x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝18．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．解析：依题意，设l1与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，当a＝1，b＝－1时满足题意，所以a2＋b2＝2.答案：2三、解答题9．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解析：圆C化成标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b)，由于CM⊥l，∴kCMkl＝－1，×1＝－1，∴a＋b＋1＝0，得b＝－a－1.①直线l的方程为y－b＝x－a，即x－y＋b－a＝0.|CM|＝， 以AB为直径的圆M过原点，∴|MA|＝|MB|＝|OM|.∴|MB|2＝|CB|2－|CM|2＝9－＝|OM|2＝a2＋b2，即9－＝a2＋b2.②由①②得a＝或a＝－1，当a＝时，b＝－，此时直线l的方程为x－y－4＝0；当a＝－1时，b＝0，此时直线l的方程为x－y＋1＝0.故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4＝0或x－y＋1＝0.10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解析：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线的距离d＝＝1，结合点到直线距离公式，得＝1.化简，得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.所以直线l的方程为：y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m...
