3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1.已知C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=CB.∁UA=BC.A∩(∁UB)=⌀D.B∪(∁UB)=C答案:D2.若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1解析:∵z是纯虚数,∴{m2-1=0,m-1≠0,解得{m=±1,m≠1.∴m=-1.故选B.答案:B3.以2i−√5的虚部为实部,以√5i-2的实部为虚部的复数是()A.2+iB.2-2iC.√5+√5iD.−√5+√5i解析:2i−√5的虚部为2,√5i-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.答案:B4.若a-2i=1+bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2=()A.0B.2C.25D.5解析:由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,1所以a2+b2=1+(-2)2=5.答案:D5.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a=.解析:由{4-3a=a2,-a2=4a,得a=-4.答案:-46.已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R).若z是纯虚数,则m=.解析:∵z为纯虚数,∴{log2(m2-3m-3)=0,log2(3-m)≠0,m2-3m-3>0,3-m>0,∴m=-1.答案:-17.已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),则当m=时,z为实数;当m=时,z为纯虚数.解析:当z为实数时,由m2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z为纯虚数时,由{m2-5m-6=0,m2-2m-3≠0,得m=6.答案:3或-168.若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.分析:由于题目中两个复数能比较大小,因此它们都是实数,由此列出关于m的方程组,求出m的值.解:由题意,得{m2-3m=0,m2-4m+3=0,m2<10,即{m=0或m=3,m=3或m=1,|m|<√10,2故实数m的值为3.9.若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m∈R,且z1>z2,求实数m的取值集合.解:依题意有{m3+3m2+2m=0,m2-5m=0,m2+1>4m-2,解得{m=0-或1-或2,m=0或5,m>3或m<1,因此m=0,故实数m的取值集合为{0}.能力提升1.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},则实数m的值为()A.-1B.-1或4C.6D.6或-1解析:∵M∩P={3},∴(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.∴{m2-3m-1=3,m2-5m-6=0.∴m=-1.故选A.答案:A2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是()A.|a|=|b|B.a<0,且a=-bC.a>0,且a≠b3D.a≤0解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.答案:D3.在下列命题中,真命题的个数是()①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R,且a>b,则a+i2>b+i2;③若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3解析:解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.①因为x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题;②因为i2=-1,且a>b,所以a+i2>b+i2成立,故②是真命题;③当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故③是假命题.答案:B4.已知复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i√3sinθ.若z1=z2,则θ等于()A.kπ(k∈Z)B.2kπ+π3¿k∈Z)C.2kπ±π3¿k∈Z)D.2kπ+π6¿k∈Z)解析:由复数相等的充要条件可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴cosθ¿√32,sinθ¿12.4∴θ¿π6+2kπ(k∈Z),故选D.答案:D5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a≠-1,且a≠2C.a≠-1D.a≠2解析:①当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1,且a≠2.②当a2-a-2=0,且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得{a=-1或2,a=0或2,故a=2.综上,可知当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.答案:C6.★已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.解析:∵z1=z2,∴{m=2cosθ,4+m=λ+3cosθ.∴λ=4-cosθ.又-1≤cosθ≤1,∴3≤4-cosθ≤5.∴λ∈[3,5].答案:[3,5]57.是否存在实数m,使复数z=(m2-m-6¿+(m2+2m-15m2-4)i为纯虚数?若存在,求出m的值;否则,请说明理由.分析:先假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解:不存在.理由如下:假设存在实数m使z是纯虚数,则{m2-m-6=0,①m2+2m-15m2-4≠0.②¿由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立,故不存在实数m使z是纯虚数.6
