第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A.B．3C.D.解析：由α为锐角，cosα＝，得sinα＝，所以tanα＝，因为tan(α－β)＝－，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝3.答案：B2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A．3B.C.D．3解析：c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①因为C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，所以S△ABC＝absinC＝×6×＝.答案：C3．(2017·德州二模)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝()(导学号55410106)A.B.C.D.解析：由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝，又cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，得sin(α－β)＝，则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，由0＜β＜，得β＝.答案：C4．(2017·韶关调研)已知cos＝，则cos＋sin2的值为()A．－B.C.D．－解析：cos＋sin2＝－cos＋sin2(x－)＝1－2cos2＋1－cos2＝2－3cos2＝.答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A解析：因为2sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB.所以等式左边去括号，得sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，则2sinBcosC＝sinAcosC，因为角C为锐角三角形的内角，所以cosC不为0.所以2sinB＝sinA，根据正弦定理变形，得a＝2b.答案：A二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．解析：由正弦定理，得sinB＝＝＝.又b＜c，则B为锐角，所以B＝45°.因此A＝180°－(B＋C)＝75°.答案：75°7．(2017·池州模拟)已知sin＝，则sin＝________．(导学号55410107)解析：因为sin＝，所以cos＝cos＝sin；又0＜α＜，所以＜＋α＜.所以sin＝＝＝.答案：8．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝________．解析：由＝及正弦定理，得＝，则a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝，从而B＝.答案：三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)由sinA＋cosA＝0及cosA≠0得tanA＝－，又0＜A＜π，所以A＝.由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos.则c2＋2c－24＝0，解得c＝4或－6(舍去)．(2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝.所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π－＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.10．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．解：(1)由asinA＝4bsinB及＝，得a＝2b.由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得cosA＝＝＝－.(2)由(1)知A为钝角，且sinA＝，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝＝，易知B为锐角，cosB＝＝.则sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，所以sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2B·sinA＝×－×＝－.11．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(a－c)sinA－bsinB＋(a＋b－c)sinC＝0.(导学号55410108)(1)求角A；(2)当sinB＋sinC取得最大值时，判断△ABC的形状．解：(1)由正弦定理＝＝＝2R，可得sinA＝，sinB＝，sinC＝.代入(a－c)sinA－bsinB＋(a＋b－c)sinC＝0，化简整理得b2＋c2－a2＝bc，则＝，所以cosA＝.又因为A为三角形内角，所以A＝.(2)由(1)得B＋C＝π，所以sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋sinπcosB－cosπsinB＝sinB＋cosB＝sin.因为0＜B＜π，所以＜B＋＜π，所以当B＝时，B＋＝，sinB＋sinC取得最大值，因此C＝π－(A＋B)＝，所以△ABC为等边三角形．
