专题三数列1．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个2．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1Sn＋(Sn－1)2＝0(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．若对任意的n均有(S1＋1)(S2＋1)…(Sn＋1)≥kn恒成立，则k的最大整数值为()A．2B．3C．4D．53．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，则Sn＝__________.4．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且Sn＝4－an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an＝________.5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝48，a5＝28，Sn＋30>nλ对一切n∈N*恒成立，则λ的取值范围为____________．6．已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n项和为Sn，且a2＋2，S3，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn－2n<.7．(2018年湖北宜昌部分示范高中教学协作体期中联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是1与an的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列的前n项和，证明：≤Tn<1(n∈N)*.8．(2017年天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．9．(2019年浙江)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3，数列{bn}满足：对每一个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记Cn＝，n∈N*,证明：C1＋C2＋…＋Cn<2，n∈N*.10．(2019年天津)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足c1＝1，cn＝其中k∈N*.ⅰ)求数列{a2n(c2n－1)}的通项公式；ⅱ)求(n∈N*)．专题三数列1．B解析：＝＝＝＝＝＝7＋，∴n－2＝－1或1或3或11或33.∴n＝1或3或5或13或35.当n＝3时，＝中分母为零，故舍去．2．B解析：当n≥1时，由条件可得Sn＋1－Sn＝－，从而Sn＋1－1＝，故－＝－＝1，又＝＝1，∴是首项、公差均为1的等差数列，＝n，Sn＝，依题只须k≤min，令f(n)＝，则＝＝>1，故f(n)min＝f(1)＝＝3，∴kmax＝3，选B.3.解析： (n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，∴nan＋1＋Sn＋1＝nSn，∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝nSn，∴＝2，∴{nSn}是首项为1，公比为2的等比数列，则nSn＝2n－1，∴Sn＝.4.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，则an＝an－1，即＝，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，则＝n－1，即an＝.5．λ<30解析：a5＝28，a2＋a4＝a5＋a1＝48，∴a1＝20，d＝＝＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋18，Sn＝＝n(n＋19)，由n(n＋19)＋30>nλ，得λ<＝n＋＋19，由函数f(x)＝x＋＋19的单调性及f(5)＝f(6)＝30知，当n＝5或n＝6时，n＋＋19最小，为30，故λ<30.6．(1)解：由a1＝0得an＝(n－1)d，Sn＝， a2＋2，S3，S4成等比数列，∴S＝(a2＋2)S4，即(3d)2＝(d＋2)·6d，整理得3d2－12d＝0，即d2－4d＝0， d≠0，∴d＝4，∴an＝(n－1)d＝4(n－1)＝4n－4.(2)证明：由(1)可得Sn＋1＝2n(n＋1)，∴bn＝＝＝2＋＝2＋，∴Tn＝2n＋＋＋…＋＝2n＋1＋－－，∴Tn－2n<.7．(1)解：n＝1时，a1＝1；n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，又4Sn＝(an＋1)2，两式相减得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. an>0，∴an－an－1＝2，∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n－1.(2)证明：＝＝－，∴Tn＝＋＋…＋＝1－，∴Tn<1，又 >0，∴Tn≥T1＝，综上≤Tn<1成立．8．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，∴q2＋q－6＝0.又 q>0，解得q＝2.∴bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②联立①②，解得a1＝1，d＝3.由此可得an＝3n－2.∴{an}的通项公式为an＝3n－2，{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，有Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减，得－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6...
