第1讲数系的扩充与复数的引入[基础题组练]1．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1－i)(x－yi)＝()A．2B．－2iC．－4D．2i解析：选B.xi－y＝－1＋i，得所以x＝1，y＝1，所以(1－i)(x－yi)＝(1－i)(1－i)＝－2i，故选B.2．(2020·辽宁辽南协作体一模)已知i是虚数单位，复数z＝，下列说法正确的是()A．z的虚部为－iB．z对应的点在第一象限C．z的实部为－1D．z的共轭复数为1＋i解析：选D.因为z＝＝1－i，所以z的虚部为－1；z对应的点的坐标为(1，－1)，在第四象限；z的实部为1；z的共轭复数为1＋i.故选D.3．(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知复数z＝是纯虚数，其中a是实数，则z等于()A．2iB．－2iC．iD．－i解析：选A.z＝＝＝＝＋i，因为z为纯虚数，所以＝0，≠0，得a＝2.所以z＝2i，故选A.4．(2020·云南民族大学附属中学期中)复数z满足z(1－i)＝|1＋i|，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.因为z(1－i)＝|1＋i|，所以z＝＝＝＋i，所以＝－i，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.15．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝．解析：因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝＝.答案：6．(2020·西安八校联考)若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝．解析：因为＝＝b－ai，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，则a－b＝－7，故答案为－7.答案：－77．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为．解析：因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以向量OB对应的复数为－2＋i.答案：－2＋i8．计算：(1)；(2)＋；(3).解：(1)＝＝＝＝＋i.(2)＋＝＋＝＋＝－1.(3)＝＝＝＝－－i.[综合题组练]1．已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A．θ＝B．θ＝C．θ＝D．θ＝解析：选C.z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.2．(应用型)(2020·成都第二次诊断性检测)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是()A.B.C.D．解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数，2所以y≠0，又因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3.因为是复数x＋yi对应点的斜率，所以＝tan∠AOB＝，所以的最大值为.3．设复数z满足＝i，则z＝．解析：法一：因为＝i，所以1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝i，所以1＋2(a＋bi)＝i－i(a＋bi)，所以2a＋1＋2bi＝b＋(1－a)i，所以，解得，所以z＝－＋i.答案：－＋i4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为．解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝＝＝＝＝＝i，对应的点的坐标为(0，1)．答案：(0，1)34
