第二篇专题六第2讲椭圆、双曲线、抛物线[限时训练·素能提升](限时45分钟，满分74分)一、选择题(本题共7小题，每小题5分，共35分)1．(2018·张家界三模)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，则该双曲线的方程为A．x2－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由题意得到e＝＝2，∴b＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，∴＝⇒a＝1，b＝.则双曲线方程为x2－＝1.答案A2．(2018·山师附中模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0，8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是A.B．2C．6D.解析由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×4，解得p＝.答案D3．(2018·绍兴模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为A.B.C.D.解析由题意知|OA|＝|AP|＝b，|OP|＝a，OA⊥AP，所以2b2＝a2，＝，故e＝＝，故选B.答案B4．(2018·长沙二模)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)经过抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是A．2B.C.D.解析依题意得，曲线C2的焦点就是曲线C1的右顶点，故曲线C2的准线方程为x＝－a，将x＝－a代入曲线C1的渐近线方程y＝±x得，该等边三角形的边长为2b，高为a，于是有a＝b，双曲线C1的离心率e＝＝.答案D5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝A.B．3C．2D．4解析因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.答案B6．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是A．(0，1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)解析当03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，得m≥9，故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A.答案A7．(2018·茂名联考)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于A，B两点，若E在A，B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则△ABC外接圆的半径是A．(－1)pB．pC.pD．2p解析因为直线过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点，且与其对称轴垂直，∴A，B，由y′＝可知E在A，B两点处的切线斜率为k1＝1，k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，又|AB|＝2p，所以△ABC外接圆的半径是p.答案B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)8．(2018·北京)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4.所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案(1，0)9．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝.答案10．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．解析设椭圆的右焦点为F(c，0)...
