专题对点练16空间中的平行与垂直1.(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.证明(1)连接BC1,取AB的中点E'. 侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,∴O为AC1的中点. E'是AB的中点,∴OE'∥BC1. OE'⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴OE'∥平面BCC1B1. OE∥平面BCC1B1,∴E,E'重合,∴E是AB的中点.(2) 侧面AA1C1C是菱形,∴AC1⊥A1C. AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,∴AC1⊥平面A1BC, BC⊂平面A1BC,∴AC1⊥BC.2.(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平面ABD;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.证明(1) BD∥平面AEF,BD⊂平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,∴BD∥EF.又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平面ABD.(2) AE⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AE⊥CD.由(1)可知BD∥EF. BD⊥CD,∴EF⊥CD.又AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,∴CD⊥平面AEF.又CD⊂平面ACD,∴平面AEF⊥平面ACD.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证:(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.证明如图,建立空间直角坐标系Axyz,不妨设AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB的中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),∴,∴DE∥NC. NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,∴DE∥平面ABC.(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).∴=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.∴,即B1F⊥EF,B1F⊥AF.又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.证明(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).设BA=a,则A(a,0,0),所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=0,=0+4-4=0,即B1D⊥BA,B1D⊥BD.又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD,因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知,E(0,0,3),G,F(0,1,4),则=(0,1,1),=0+2-2=0,=0+2-2=0,即B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EGF,因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2.(1)求证:FA∥平面BC'D;(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(1)证明 BC'=C'D,E为BD的中点,∴C'E⊥BD.又平面BC'D⊥平面ABD,且平面BC'D∩平面ABD=BD,∴C'E⊥平面ABD. FA⊥平面ABD,∴FA∥C'E.又C'E⊂平面BC'D,FA⊄平面BC'D,∴FA∥平面BC'D.(2)解以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC'所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),∴=(-1,-,2),=(-1,0,).设平面FBC'的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则m=(,1,1). 平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),∴cos=.则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为.(3)解假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',设=λ,则(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0),∴x=-λ,y=(λ-1),z=0.而=(-λ,(λ-1),-),由m∥,得,λ无解.∴线段AD上不存在点M,使得C'M⊥平面FBC'.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE∥平面C1E1F;(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1.(1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z). =(-1,0,1),∴令x=1,得n=(1,2,1). =(1,-1,1),n·=1-2+1=0,∴⊥n.又CE⊄平面C1E1F,∴CE∥平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),由=(0,1,0),=(-1,0,-1),∴令a=-1,得m=(-1,0,1). m·n=1×(-1)+2...
