【创新设计】2016届高考数学一轮复习探究课6圆锥曲线问题中的热点题型文北师大版INCLUDEPICTURE"../热点训练.tif"\*MERGEFORMAT(建议用时：45分钟)1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．(1)求证：＋等于定值；(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明由消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，① 直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0， a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根．∴x1＋x2＝，x1x2＝.②由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝1－x1，y2＝1－x2，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④∴＋＝2.(2)解利用(1)的结论，将a表示为e的函数由e＝⇒b2＝a2－a2e2，代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.∴a2＝＝＋. ≤e≤，∴≤a2≤. a＞0，∴≤a≤.∴长轴长的取值范围是[，]．2．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：MA·MB为定值．(1)解化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，1则圆心为(－1，0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝，则b2＝a2－c2＝1，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.可求得A，B.此时，MA·MB＝·＝－.②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为MA·MB＝·＝＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋k(x1＋1)·k(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋＝(1＋k2)·＋＋k2＋＝＋＝－2＋＝－.所以，综上得MA·MB为定值，且定值为－.3．(2014·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解(1)由题意，知椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)．因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.2故线段AB长度的最小值为2.4.(2014·辽宁卷)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋交于A，B两点．若△PAB的面积为2，求C的标准方程．解(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．(2)设C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P在C上知＋＝1，并由得b2x2＋4x＋6－2b2＝0，又x1，x2是方程的根，因此由y1＝x1＋，y2＝x2＋，得|AB|＝|x1－x2|＝·.由点P到直线l的距离为及S△PAB＝××|AB|＝2得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或3，因此b2＝6，a2＝3(舍)或b2＝3，a2＝6.从而所求C的方程为＋＝1.5.如图，已知点E(m，0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．(1)解当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点， k1k2＝－1，∴AB⊥CD.设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4. M，∴M，同理，点N(2k＋1，－2k1)，∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取得最小值4.3(2)证明设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1...
