专题2.3函数的奇偶性与周期性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称知识点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.考点一函数奇偶性的判定【典例1】（2019·四川成都七中模拟）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝(3)f(x)＝；(4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．【解析】(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1＜x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．(2)法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．法二：图象法作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．(3)因为所以－2≤x≤2且x≠0，所以定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝，所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．(4)函数的定义域为R，因为f(－x)＋f(x)＝loga[－x＋]＋loga(x＋)＝loga(－x)＋loga(＋x)＝loga[(－x)(＋x)]＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【变式1】（2019·贵州凯里一中模拟）已知f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是()A.f(x)＋g(x)是偶函数B.f(x)＋g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数D.f(x)g(x)是偶函数【答案】A【解析】令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝，g(x)＝，所以h(x)＝＋＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h(－x)＝＝＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F(－x)＝＝，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.考点二函数奇偶性的应用【典例2】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（）A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求...
