2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式2用数学归纳法证明不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：使2n>n2＋1，经过计算知应选C.答案：C2．设p(k)：1＋＋＋…＋≤＋k(k∈N)，则p(k＋1)为()A．1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1B．1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1C．1＋＋＋…＋＋＋…＋≤＋k＋1D．上述均不正确解析：分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案：A3．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1(a≠1)，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案：C4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：由k到k＋1，则左边增加了＋＋…＋共2k项．答案：C二、填空题5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是________．答案：2k6．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．解析：由贝努利不等式(1＋x)n>1＋nx，令x＝，∴n>1＋n·，∴n>1＋n·，即(a＋b)n>an＋nan－1b.故M>N.1答案：M>N三、解答题7．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋等式均成立．8．设f(n)＝1＋＋＋…＋，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，….你能得到怎样的结论？并证明．解析：数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…通项公式an＝，∴猜测：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)>，则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②对任何n∈N＋原不等式均成立．9．是否存在常数a，b，c使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切n∈N＋都成立？证明你的结论．解析：此题可用归纳猜想证明来思考．假设存在a，b，c使题设的等式成立．令n＝1，得4＝(a＋b＋c)；当n＝2时，22＝(4a＋2b＋c)；当n＝3时，70＝9a＋3b＋c，联立得a＝3，b＝11，c＝10.∴当n＝1,2,3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝成立．猜想等式对n∈N＋都成立，下面用数学归纳法来证明．记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，设当n＝k时，上面等式成立，即有Sk＝.则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2＝·(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝·(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝·(3k2＋5k＋12k＋24)＝·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．∴当n＝k＋1时，等式成立．综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对n∈N＋均成立．2
