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高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式课后练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式课后练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题_第1页
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2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式2用数学归纳法证明不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n>n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析:使2n>n2+1,经过计算知应选C.答案:C2.设p(k):1+++…+≤+k(k∈N),则p(k+1)为()A.1+++…++≤+k+1B.1+++…++≤+k+1C.1+++…+++…+≤+k+1D.上述均不正确解析:分母是底数为2的幂,且幂指数是连续自然增加,故选A.答案:A3.用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1(a≠1),在验证n=1时,左端计算所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案:C4.用数学归纳法证明“1+++…+1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:由k到k+1,则左边增加了++…+共2k项.答案:C二、填空题5.用数学归纳法证明:1+++…+1),第二步证明从“k到k+1”,左端增加的项数是________.答案:2k6.设a,b均为正实数(n∈N+),已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为________(提示:利用贝努利不等式,令x=).解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx,令x=,∴n>1+n·,∴n>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b.故M>N.1答案:M>N三、解答题7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,等式左边=2,等式右边=2×1=2,∴等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1)成立.那么n=k+1时,(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)[2(k+1)-1].即n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+等式均成立.8.设f(n)=1+++…+,由f(1)=1>,f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,….你能得到怎样的结论?并证明.解析:数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数列,1,,2,…通项公式an=,∴猜测:f(2n-1)>.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,f(21-1)=f(1)=1>,不等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,即f(2k-1)>,则f(2k+1-1)=f(2k-1)+++…++>f(2k-1)++…+=f(2k-1)+>+=.∴当n=k+1时不等式也成立.据①②对任何n∈N+原不等式均成立.9.是否存在常数a,b,c使得1·22+2·32+3·42+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切n∈N+都成立?证明你的结论.解析:此题可用归纳猜想证明来思考.假设存在a,b,c使题设的等式成立.令n=1,得4=(a+b+c);当n=2时,22=(4a+2b+c);当n=3时,70=9a+3b+c,联立得a=3,b=11,c=10.∴当n=1,2,3时,等式1·22+2·32+3·42+…+n(n+1)2=成立.猜想等式对n∈N+都成立,下面用数学归纳法来证明.记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2,设当n=k时,上面等式成立,即有Sk=.则当n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=·(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=·(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=·(3k2+5k+12k+24)=·[3(k+1)2+11(k+1)+10].∴当n=k+1时,等式成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对n∈N+均成立.2

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