高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例课时分层作业（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理应用举例(建议用时：40分钟)一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．3mD．4mD[由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4m.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．nmile/hB．34nmile/hC．nmile/hD．34nmile/hA[如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝nmile/h.]3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/时B．14海里/时C．14海里/时D．20海里/时B[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，则BD＝40，OD＝20.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．15mB．20mC．25mD．30mD[设建筑物的高度为hm，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①cos∠PBC＝.② ∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30m．]二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝(千米)．]7．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)．]8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．7[设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝.∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．]三、解答题9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[解] ∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又 ∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理有＝，∴BD＝CD·＝a·＝a，在△ADB中， AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2×a×a×＝a2.∴AB＝a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.10．岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方...