第1课时简单的三角恒等变换(一)分层演练综合提升A级基础巩固1.化简:1-tan2α21+tan2α2=()A.tanαB.cosαC.sinαD.cos2α答案:B2.已知2sinα=1+cosα,则tanα2等于()A.12B.12或不存在C.2D.2或不存在答案:B3.设a=12cos7°+√32sin7°,b=2tan19°1-tan219°,c=√1-cos72°2,则有()A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>b>a答案:A4.若tanx=❑√2,则2cos2x2-sinx-1sinx+cosx=2❑√2-3.5.化简:12sin2x(1tanx2-tanx2)+√32cos2x.解:原式=12sin2x(cosx2sinx2-sinx2cosx2)+√32cos2x=12sin2x·cos2x2-sin2x2sinx2cosx2+√32cos2x=sin2x·cosxsinx+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3).B级能力提升6.若tanα=2√6,π<α<3π2,则cosα2等于()A.-√155B.√155C.-√105D.√105解析:因为tanα=sinαcosα=2√6,sin2α+cos2α=1,所以cos2α=125.又因为π<α<3π2,所以cosα=-15,π2<α2<3π4,所以cosα2=-√1+cosα2=-√1-152=-√105.答案:C7.若α∈(0,π2),sin2α=12,则sin(α+π4)=√32.解析:因为1-2sin2(α+π4)=cos(2α+π2)=-sin2α,所以sin2(α+π4)=34.因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,3π4),所以sin(α+π4)=√32.8.求证:tan3x2-tanx2=2sinxcosx+cos2x.证明:因为左边=tan3x2-tanx2=sin3x2cos3x2-sinx2cosx2=sin3x2cosx2-cos3x2sinx2cos3x2cosx2=sin(3x2-x2)cos3x2cosx2=sinxcos3x2cosx2=2sinxcos(3x2-x2)+cos(3x2+x2)=2sinxcosx+cos2x=右边,所以原等式成立.C级挑战创新9.多选题下列各值中,函数y=2sinx+2√3cosx可能取得的是()A.3B.3.5C.4D.4.5解析:因为y=2sinx+2√3cosx=4(12sinx+√32cosx)=4sin(x+π3)≤4,所以函数y=2sinx+2√3cosx不能取得的是4.5.故选A、B、C.答案:ABC10.多空题已知α为第二象限角,且1-tanα1+tanα=43,则tanα2+π8=-3,sinα+π12=4-3❑√310.解析:因为α为第二象限角,且1-tanα1+tanα=43,所以tanα=-17=sinαcosα.又因为sin2α+cos2α=1,所以sinα=❑√210,cosα=-7❑√210.所以sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=-35,Cos(α+π4)=cosαcosπ4-sinαsinπ4=-45.所以tan(α2+π8)=1-cos(α+π4)sin(α+π4)=1+45-35=-3.因为sinπ12=❑√1-cosπ62=❑√2-❑√32=❑√6-❑√24,cosπ12=❑√1+cosπ62=❑√2+❑√32=❑√6+❑√24,所以sin(α+π12)=sinαcosπ12+cosαsinπ12=❑√210×❑√6+❑√24-7❑√210×❑√6-❑√24=4-3❑√310.
