第八节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点()A.至多有一个B.有2个C.有1个D.没有2.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a等于()A.B.C.D.43.设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A.±B.±C.±D.±24.已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于()A.B.C.D.05.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为.6.如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则·=.7.已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.18.(2018贵州贵阳质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当△F2AB的面积为时,求直线的方程.B组提升题组1.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+等于()A.2B.4C.D.2.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为.3.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.4.如图,已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.2(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).3答案精解精析A组基础题组1.B 直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,∴>2,∴m2+n2<4,∴+<+=1-m2<1,∴点(m,n)在椭圆+=1的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有2个.2.C由消去y得ax2-x+1=0,所以解得a=.3.A将直线与椭圆方程联立得化简整理得(3+4k2)x2=12,(*)因为分别过A,B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,故方程的两个根为±1,代入方程(*),得k=±.故选A.4.B由题意可得8x2-20x+8=0,即2x2-5x+2=0,4解得x=2或x=,则A(2,2),B.由·=0,M(-1,m),可得(3,2-m)·=0.化简2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.5.答案+=1解析由题意得解得∴椭圆C的方程为+=1.6.答案-1解析不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=±2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以·=-1.7.解析(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.5抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.8.解析(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点,所以+=1.①6又因为离心率为,所以=,所以=.②联立①②解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)当直线的倾斜角为时,A,B点的坐标为,,则=|AB|·|F1F2|=×3×2=3≠.当直线的倾斜角不为时,设直线方程为y=k(x+1),代入+=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以=|y1-y2|·|F1F2|=|k|=|k|==,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1,所以k=±1,所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.B组提升题组71.D由抛物线y2=4x,可知2p=4,设弦AB所在直线l1的倾斜角为θ(θ为锐角),弦CD所在直线l2的倾斜角为+θ,AB,CD为过焦点的弦,|AB|=,|CD|==,所以+=+==.故选D.2.答案+=1解析因为椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),所以a2-b2=4,所以可设椭圆方程为+=1,联立得得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0,设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1+y2==2,解得b2=8.所以a2=12.所以椭圆的方程为+=1.3.解析(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为...
