高考大题专项四高考中的立体几何1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,各棱长均为2,D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点.(1)求证:平面B1FG∥平面BDE;(2)求三棱锥B1-BDE的体积.2.(2018安徽马鞍山质检二,17)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1=4,A1B1=B1C1=2,且B1B⊥面ABC,∠ABC=90°,D,G分别为AC,BC的中点,E,F为A1C1上两动点,且EF=2.(1)求证:BD⊥GE;(2)求四面体B-GEF的体积.3.(2018江西新余二模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1B1B⊥平面ABC,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)若∠A1AB=∠ACB=60°,AB=BB1,AC=2,BC=1,求三棱锥C1-ABD的体积.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.5.(2018北京通州三模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAB为等边三角形,E是PB中点,平面AED与棱PC交于点F.(1)求证:AD∥EF;(2)求证:PB⊥平面AEFD;(3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出的值.6.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.高考大题专项四高考中的立体几何1.(1)证明连接DG,A1C.∵D,G分别是AC,A1C1的中点,∴DGAA1BB1,∴四边形BB1GD是平行四边形,∴B1G∥BD.又B1G⊈平面EBD,BD⫋平面EBD,∴B1G∥平面EBD.∵D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点,∴GF∥A1C,A1C∥DE,∴GF∥ED.又GF⊈平面EBD,ED⫋平面EBD,∴GF∥平面EBD.又B1G∩GF=G,B1G⫋平面B1FG,GF⫋平面B1FG,∴平面B1FG∥平面EBD.(2)解过点D作DH⊥AB交AB于点H,∵AA1⊥平面ABC,AA1⫋平面A1ABB1,∴平面A1ABB1⊥平面ABC.又平面A1ABB1∩平面ABC=AB,DH⊥AB,DH⫋平面ABC,∴DH⊥平面A1ABB1.∵AB=BC=AC=2,∴DA=1,BD=,∴DH=.∴·DH=×2×2×.2.(1)证明取AB的中点O,连接OG,OA1,C1G,∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,又AC∥A1C1,∴BD⊥A1C1,∵BG∥B1C1,且BG=B1C1,∴四边形BGC1B1为平行四边形,∴GC1∥BB1.同理,四边形OBB1A1为平行四边形,∴GC1∥OA1.∴四边形OGC1A1为平行四边形,∵B1B⊥面ABC,∴C1G⊥面ABC,∴C1G⊥BD,又A1C1∩C1G=C1,∴BD⊥面A1C1GO,∵GE⫋面A1C1GO,∴BD⊥GE.(2)解令OG与BD交于点M,∵C1G⊥面ABC,C1G⫋面A1C1GO,∴面A1C1GO⊥面ABC,∵面A1C1GO∩面ABC=OG,∵OG∥AC,BD⊥AC,∴BM⊥OG,∴BM⊥面A1C1GO,∴BM为点B到面A1C1GO的距离,即BM=,又S△GEF=×GC1×EF=×4×2=4,∴VB-GEF=×BM×S△GEF=×4=.3.解(1)连接AB1交A1B于点O,则O为AB1的中点,∵D是AC的中点,∴OD∥B1C.又OD⫋平面A1BD,B1C⊈平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°,∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=3,∴AB=.取AB中点M,连接A1M,∵AB=BB1=AA1,∠A1AB=60°,∴△ABA1为等边三角形.∴A1M⊥AB,且A1M=,∵平面AA1B1B⊥平面ABC,平面AA1B1B∩平面ABC=AB,A1M⫋平面AA1B1B,∴A1M⊥平面ABC,∵S△ABD=S△ABC=,∴S△ABD·A1M=.4.(1)证明在平面四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=60°,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴∠BDB1=90°,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BB1C1C,∴AB⊥DB1,∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直,∴DB1⊥平面ABD.(2)解对于四面体A1-ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到B1D的距离为2,设A1到平面AB1D的距离为h,△ADB1为直角三角形,×AD×DB1=,∴×h=h,∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×,∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.5.(1)证明因为ABCD为正方形,所以AD∥BC.因为AD⊈平面PBC,BC⫋平面PBC,所以AD∥平面PBC.因为AD⫋平面AEFD,平面AEFD∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.(2)证明因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD⫋平面ABCD,所以AD⊥平面PAB.因为PB⫋平面PAB,所以AD⊥PB.因为△PAB为等边三角形,E是PB中点,所以PB⊥AE.因为AE⫋平面AEFD,AD⫋平面AEFD,AE∩AD=A,所以PB⊥平面AEFD.(3)解由(1)知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC=VC-AEFD=V1,∴VBC-AEFD=V1,则VP-ABCD=V1+V1=V1,∴.6.(1)解如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP=,故cos∠DAP=.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明因为AD⊥平面PDC,直线PD⫋平面PDC,所以AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得DF==2,在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
