第06讲函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法导数定义复合图像1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：增增增增减减减增减减减增3、导数判断法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像1、定义法:由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域，然后求导，再解不等式,分别和求交集，得函数的递增（减）区间.4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数、和；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数.3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”.4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数的增区间为.不要写成.【方法讲评】方法一定义法使用情景一般适用于结构较简单的函数.解题步骤①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.【例1】证明函数在区间是增函数.【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断的符号时，没有利用到，且，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定符号.【反馈检测1】讨论函数在上的单调性.【例2】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，.（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式.【解析】【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对的变形，要充分利用已知条件“，且当时”，所以可以这样拆，.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.【反馈检测2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围.方法二导数法使用情景一般使用于结构较复杂的函数.解题步骤先求函数的定义域，再求导，再判断的符号，最后下结论.【例3】已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对任意，，求的取值范围.（2）不妨假设，而＜-1，由（1）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故的取值范围为.【点评】（1）函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导数求函数...
