第75讲离心率的常见求法【知识要点】一、椭圆、双曲线的离心率.二、抛物线的离心率.三、圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.【方法讲评】方法一公式法使用情景比较容易求出和，或者容易得到的关系.解题步骤先根据已知条件求出和,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.【例1】已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接，若，则的离心率.【点评】(1)本题是2003年辽宁省的理科高考题，有一定难度，综合性比较强，它反映的基本思路，就是利用公式法求椭圆的离心率，先求出椭圆的和,再代入离心率的公式求解即可.(2)本题关键是要联想到椭圆的定义，会灵活利用椭圆的对称性来分析求解.【反馈检测1】已知P是椭圆上一点，椭圆的左右焦点分别是,若,则此椭圆的离心率为_________.【例2】已知点在双曲线上，直线过坐标原点，且直线、的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【点评】本题主要是利用已知条件得到了和的关系，再直接代入离心率的公式化简得到的.【反馈检测2】已知双曲线的左焦点为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.5C.2D.【反馈检测3】设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（1）若的周长为16，求；（2）若，求椭圆的离心率.方法二方程法使用情景把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程.解题步骤把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程,再把该方程化为关于离心率的一次或二次方程，直接计算出离心率.【例3】过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）．A.B.C.D.【点评】(1)本题经过整理得到，再把方程的两边同时除以，得到一个关于离心率的方程，解方程即可得到离心率的值.(2)是一个关于的齐二次方程，这种方程两边同时除以,即可得到一个关于离心率的方程，解方程即可.【反馈检测4】设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【反馈检测5】设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使,且，则椭圆的离心率为．【反馈检测6】过双曲线的左顶点作与实轴垂直的直线，交两渐近线于,两点，为该双曲线的右焦点，若△的内切圆恰好是，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第75讲：离心率的常见求法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】由题得设所以.【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】设双曲线的右焦点为因为为的中点，∴，∵∴，所以，.【反馈检测3答案】（1）5；（2）.（Ⅱ）设，则且，由椭圆定义可得在中，由余弦定理可得即化简可得，而，故于是有，因此，可得故为等腰直角三角形。从而所以椭圆的离心率.【反馈检测4答案】【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】根据椭圆的定义,，，，,勾股定理得，化简得，即，所以离心率．【反馈检测6答案】A【反馈检测6详细解析】双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线的交点，由于，，根据面积公式得，，化简得，解得.
