课时作业37平面与平面垂直的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(B)A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α解析：由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.2．下列命题中错误的是(D)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．3.如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(B)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析： PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又 平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，ADBCAB＝234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论，在翻折过程中，可能成立的结论的为(BC)A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面DBF⊥平面BFCD．平面DCF⊥平面BFC解析：如图，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则A错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而ADBCAB＝234，可使条件满足，所以B正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BFC，所以C正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D错误．5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于(A)A．21B．31C．32D．43解析：由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝21.6.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：连接AC1，如图所示， ∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又 AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，又 平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在底面ABC上的射影点H必在AB上．故选A.二、填空题7．如图，把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有3对，其中1对是平面ADC与平面BDC(答案不唯一)．解析：由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，综上可知，互相垂直的平面有3对．8．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.解析：如图，连接BC， 二面角αlβ为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosαcosβ＝2.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosαcosβ＝2.三、解答题10.把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.证明： 平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，又AB⊥AC，CD∩AC＝C，∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.11.如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1) E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2) PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又 平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又 F为BC的中点，∴EF∥AB. ∠ABC＝90°，∴BC⊥EF. EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又 BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.——能...
