专题27二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。热点题型一二元一次不等式(组)表示平面区域例1、(1)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于()A．1B．2C．3D．4(2)已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________。解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形ABCD，其中A(0,1)，D(1,0)，边长AD＝，则正方形的面积S＝×＝2，故选B。(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可。【提分秘籍】平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。【举一反三】已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()A．1B．－1C．0D．－2解析：先作出不等式组对应的平面区域，如图：热点题型二求线性目标函数的最值例2、【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(6,3)−−，则z=2x+y的最小值是：−15.故选：A.【变式探究】设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．1【提分秘籍】利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。【举一反三】设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3答案：B热点题型三线性目标函数的最优解问题例3．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或－1B．2或C．2或1D．2或－1解析：由线性约束条件可得其图象如图所示，由图象可知直线z＝y－ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一，此时a＝2或－1。【提分秘籍】利用可行域及最优解求参数及其范围的方法利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可解参数的值或范围。【举一反三】若x，y满足约束条件且z＝kx＋y取得最小值时的点有无数个，则k＝()A．－1B．2C．－1或2D．1或－2解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)。由z＝kx＋y，得y＝－kx＋z，若k＝0，此时y＝z，此时z只在B处取得最小值，不满足条件。若k>0，则目标函数的斜率－k<0。平移直线y＝－kx＋z，由图象可知当直线y＝－kx＋z和直线x＋y－1＝0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个。此时－k＝－1，即k＝1。热点题型四求非线性目标函数的最值例4、(1)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.D．2(2)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是()A．－2B．2C．－1D．1解析：(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2。(2)作出不等式组对应的平面区域如图：ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)到定点A(0，－1)之间的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为＝1，故选D。【提分秘籍】利用可行域求非线性目标函数最值的方法画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值。【举一反三】已知，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________。解析：不等式组表示的平面区域为如图所示△ABC的内部(包括边界)，此时z＝x2＋y2＝(...
