专题6.1导数中的构造函数【题型综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数．【题型综述】一、利用进行抽象函数构造1．利用与构造常用构造形式有，；这类形式是对，型函数导数计算的推广及应用，我们对，的导函数观察可得知，型导函数中体现的是“”法，型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造．例1、是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为．【思路引导】出现“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．2．利用与构造与构造，一方面是对，函数形式的考察，另外一方面是对的考察．所以对于类型，我们可以等同，的类型处理，“”法优先考虑构造，“”法优先考虑构造．例2、已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（）A．，B．，C．，D．，【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．3．利用与，构造，因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．，；，；，；，．例3、已知函数对于任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（）A．B．C．D．【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．二、构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．例4、，，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【解析】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又为偶函数，根据单调性和图象可知选B．【同步训练】1、设是定义在上的偶函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为．【思路引导】出现“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．【详细解析】构造，则，当时，，可以推出，，在上单调递增．为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，在上也单调递减．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为．2、已知偶函数（）的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是．【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．3、设是定义在上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为．【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．注意和的转化．【详细解析】构造，则，当时，，可以推出，，在上单调递减．为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，在上单调递增．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为．4、若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为．【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．5、已知函数在上可导，其导函数，若满足：，，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．【详细解析】构造形式，则，导函数满足，则时，在上单调递增．当时，在上单调递减．又由关于对称，根据单调性和图象，可知选C．6、等比数列中，，，函数，则（）A．B．C．D．【思路引导】构造函数，然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可．【详细解析】令形式，则，，，故选C．7、已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为（）A．B．C．D．【思路引导】把看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可．
