专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A.B．pC．2pD．无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p.2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为()A．4B．6C．8D．9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4,0)，于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4，故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．3．[2016·哈三中模拟]直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l一定过点()A．(－3,0)B．(3,0)C．(－1,3)D．(－2,0)答案A解析设直线l的方程为x＝my＋b，联立直线和抛物线的方程得整理得y2－2my－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－2b，y1＋y2＝2m，故x1x2＝(my1＋b)·(my2＋b)＝m2y1y2＋mb(y1＋y2)＋b2＝－2bm2＋2bm2＋b2＝b2.因为k1k2＝＝＝，解得b＝－3，故l的横截距为定值－3，即l一定过点(－3,0)．4．[2016·贵州遵义联考]设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，即P，Q两点间的最大距离是()A．5B.＋C．6D．7＋答案C解析解法一：设Q(x，y)，－1≤y≤1.因为圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为T(0,6)，半径r＝，则|QT|＝＝＝≤5，当y＝－时取等号，所以|PQ|max＝5＋＝6.故选C.解法二：设Q(cosθ，sinθ)，圆心为M，由已知得M(0,6)，则|MQ|＝＝＝＝≤5，故|PQ|max＝5＋＝6.5．[2016·贵阳摸底]已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析解法一：设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(－2,0)，A2(2,0)，则有k1k2＝·＝＝＝－，因为－2≤k2≤－1，所以k1>0且－2≤－≤－1，即1≤≤2，解得≤k1≤.故选B.解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k2＝－1，则直线PA2的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程并整理得7x2－16x＋4＝0，解得x1＝2，x2＝，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1＝＝.同理，令k2＝－2，可得k1＝.结合选项知，选项B正确．6．[2016·山西运城调研]已知A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上的两动点，F为其焦点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，|MN|＝λ|AB|，则λ的最大值为()A．1B.C.D．2答案A解析过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C，因为M为线段AB的中点，BC∥AD，所以|MN|＝(|BC|＋|AD|)，又因为|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，所以|MN|＝(|BF|＋|AF|)，又|MN|＝λ|AB|，所以2λ|AB|＝|AF|＋|BF|，两边平方得4λ2|AB|2＝|AF|2＋|BF|2＋2|AF||BF|，即4λ2＝.在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos60°，即|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|，所以4λ2＝，由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|≥2|AF||BF|－|AF||BF|＝|AF||BF|，故|AB|2≥|AF||BF|，所以4λ2＝≤＝4，因为λ>0，所以0<λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.二、填空题7．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1，若AP的斜率为k且|k|∈，则实数m的取值范围是________．答案∪解析直线AP的方程为y＝k(x－1)，k≠0，即kx－y－k＝0，由＝1，得|m－1|＝. |k|∈，∴≤|m－1|≤2，解得m∈∪.8．过抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作与直线x＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．答案(2,0)解析抛物线的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0，又抛物线上任意一点到F与到准线l的距离相等，所以这些圆一定过焦点F(2,0)．9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为________．答案6解析由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为FP＝(x0＋1，y0)，OP＝(x0，y0)，所以OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，...
