4.3指数函数与对数函数的关系[A基础达标]1．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1，9]C．(0，1)D．[9，＋∞)解析：选B.由于反函数的定义域为原函数的值域，因为0＜x≤2，所以y＝3x∈(1，9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1，9]．2．函数y＝－(x≤1)的反函数是()A．y＝x2－1(－1≤x≤0)B．y＝x2－1(0≤x≤1)C．y＝1－x2(x≤0)D．y＝1－x2(0≤x≤1)解析：选C.因为x≤1，所以－x≥－1，1－x≥0，所以≥0，所以－≤0，所以y≤0.原函数的值域应与反函数的定义域相同，所以选项中只有C的定义域满足小于等于0.3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图像过点(2，1)，其反函数图像过点(2，8)，则a＋b等于()A．6B．5C．4D．3解析：选C.由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图像过点(2，1)和(8，2)，所以所以解得所以a＋b＝4.4．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限解析：选B.因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．5．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．解析：f－1(x)的定义域为f(x)的值域，因为x≥1，所以log2x≥0，所以log2x＋3≥3，所以f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)6．若函数f(x)＝y＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________．解析：法一：函数f(x)的值域为R，由y＝2x＋1，得x＝，故f－1(x)＝，故f－1(－2)＝＝－.法二：由互为反函数的两函数定义域、值域的关系，令2x＋1＝－2，得x＝－.故f－1(－2)＝－.答案：－7．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________．解析：当x＝－2时，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，所以f(x)恒过(－2，0)点，即反函数的图像恒过点P(0，－2)．答案：(0，－2)8．求下列函数的反函数．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)．解：(1)设y＝f(x)＝，则y≠0.由y＝，解得x＝.所以f－1(x)＝(x≠0)．(2)设y＝f(x)＝1－.因为－1≤x＜0，所以0＜y≤1.由y＝1－，解得x＝－.所以f－1(x)＝－(0＜x≤1)．9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，故原函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.(2)由f(x)＝y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，即x＝2－ay.所以f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1
1，x10，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是图中的()解析：选B.y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．因为在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，所以排除A、C.当0
