高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用专题辅导VIP免费

高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用玉宏图在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。一、椭圆焦半径公式P是椭圆xayb2222＝1()ab0上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1）||PEaexP，（2）||PFaexP。P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）PEaeyPFaeyPP，()||4。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。二、椭圆焦半径公式的变式P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）||cosPEbac2；（2）||cosPFbac2。P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）||sinPEbac2；（4）||sinPFbac2。证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有cos||||||PQPExcPEP由椭圆焦半径公式（1）得||PEaexP。消去xP后，化简即得（1）||cosPEbac2。而当大于90°时，在三角形PEQ中，有cos()||||||PQPEcxPEPcos||xcPEP，以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。三、变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例1.（2005年全国高考题）P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得||cosPFbacba2290°。再由题意得||||EFPFcbaacaccacae2220222222＋210e。注意到0121ee解得。例2.（见高中数学课本第二册（上）133页复习参考题八B组第3题）P是椭圆xy22100641上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为43，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，则：tancossin4317437，，。因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得||()PF81061772×所以三角形PEF的面积SPFEF1212726437243||||sin××××例3.（2003年希望杯赛题）经过椭圆xaybab222210()的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若||||AFBF112，求椭圆的离心率。解：由题意及变式（2）得bacba2260260180coscos()°×°°化简得2123223acaccaeca。例4.（2005年全国高考题）设F是椭圆xy2221的上焦点，PFFQ与共线，MFFN与共线，且PFMF·＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而abc211，，，由题意及（3）式得||||||sinsin()sinPQPFFQ12121802222°同理得||cosMN2222。由题意知四边形PMQN面积SPQMN12||||122222224216841682321742222222··sincossincossincossincos所以当cos41时，Smax321712；当cos41时，Smin()32171＝169。