高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用玉宏图在圆锥曲线中,焦半径是一个非常重要的几何量,与其有关的问题是各类考试的热点,故值得我们深入研究。为此,本文以椭圆为例研究它的一种变式。一、椭圆焦半径公式P是椭圆xayb2222=1()ab0上一点,E、F是左、右焦点,e是椭圆的离心率,则(1)||PEaexP,(2)||PFaexP。P是椭圆yaxbab222210()上一点,E、F是上、下焦点,e是椭圆的离心率,则(3)PEaeyPFaeyPP,()||4。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。二、椭圆焦半径公式的变式P是椭圆xaybab222210()上一点,E、F是左、右焦点,PE与x轴所成的角为,PF与x轴所成的角为,c是椭圆半焦距,则(1)||cosPEbac2;(2)||cosPFbac2。P是椭圆yaxbab222210()上一点,E、F是上、下焦点,PE与x轴所成的角为,PF与x轴所成的角为,c是椭圆半焦距,则(3)||sinPEbac2;(4)||sinPFbac2。证明:(1)设P在x轴上的射影为Q,当不大于90°时,在三角形PEQ中,有cos||||||PQPExcPEP由椭圆焦半径公式(1)得||PEaexP。消去xP后,化简即得(1)||cosPEbac2。而当大于90°时,在三角形PEQ中,有cos()||||||PQPEcxPEPcos||xcPEP,以下与上述相同。(2)、(3)、(4)的证明与(1)相仿,从略。三、变式的应用对于椭圆的一些问题,应用这几个推论便可容易求解。例1.(2005年全国高考题)P是椭圆xaybab222210()上一点,E、F是左右焦点,过P作x轴的垂线恰好通过焦点F,若三角形PEF是等腰直角三角形,则椭圆的离心率是___________。解:因为PF⊥EF,所以由(2)式得||cosPFbacba2290°。再由题意得||||EFPFcbaacaccacae2220222222+210e。注意到0121ee解得。例2.(见高中数学课本第二册(上)133页复习参考题八B组第3题)P是椭圆xy22100641上且位于x轴上方的一点,E,F是左右焦点,直线PF的斜率为43,求三角形PEF的面积。解:设PF的倾斜角为,则:tancossin4317437,,。因为a=10,b=8,c=6,由变式(2)得||()PF81061772×所以三角形PEF的面积SPFEF1212726437243||||sin××××例3.(2003年希望杯赛题)经过椭圆xaybab222210()的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A,B两点,若||||AFBF112,求椭圆的离心率。解:由题意及变式(2)得bacba2260260180coscos()°×°°化简得2123223acaccaeca。例4.(2005年全国高考题)设F是椭圆xy2221的上焦点,PFFQ与共线,MFFN与共线,且PFMF·=0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解:设PF倾斜角为,则由题意知PF⊥MF,所以MF倾斜角为90°+α,而abc211,,,由题意及(3)式得||||||sinsin()sinPQPFFQ12121802222°同理得||cosMN2222。由题意知四边形PMQN面积SPQMN12||||122222224216841682321742222222··sincossincossincossincos所以当cos41时,Smax321712;当cos41时,Smin()32171=169。