专题限时集训(三)平面向量[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)C[DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()【导学号：04024048】A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋ADB[因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝＝AB＋AD，故选B.]3．(2017·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为()A．0B.C.D.B[(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.]4．(2017·黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量AC在BD方向上的投影为()A.B．－C.D．－D[由题意知AC＝(－1,1)，BD＝(3,2)，所以AC在BD方向上的投影为＝＝＝－，故选D.]5．(2016·武汉模拟)将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝()A.B.C.D.A[由题意可得OB的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则OB＝，故选A.]二、填空题6．(2017·济南一模)设向量a与b的夹角为θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.[由题意知b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cosθ＝＝＝.]7．(2017·东北三省四市联考)两个单位向量a，b满足a⊥b，且a⊥(xa＋b)，则|2a－(x＋1)b|＝________.[因为a⊥b，所以a·b＝0，又a⊥(xa＋b)，所以a·(xa＋b)＝xa2＋a·b＝x＝0，所以|2a－(x＋1)b|2＝|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝5，所以|2a－(x＋1)b|＝.]8．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．[ AP⊥BC，∴AP·BC＝0，∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0. 向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，∴(λ－1)×3×2×cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]三、解答题9．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．4分又x∈，从而sinx＝，所以x＝．6分(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，9分当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为．12分10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值.【导学号：04024049】[解](1)由BA·BC＝2得cacosB＝2．1分因为cosB＝，所以ac＝6．2分由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2．4分因为a>c，所以a＝3，c＝2．6分(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，7分由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.8分因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝．10分于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝．12分[B组名校冲刺]一、选择题1．(2017·东莞二模)如图31所示，已知AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，，则下列等式中成立的是()图31A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－bA[因为AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，所以c＝OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OB－OA＝b－a，故选A.]2．(2017·深圳二模)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－B[ n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.]3．如图32，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于()图32A．－B．－C．－D．－B[ BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝，∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝2＋0－1＝－.]4．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()【导学号：04024050】A．－B.C.D．3C[由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外...
