压轴大题高分练5.函数与导数(A组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程.(2)证明:f(x)仅有唯一的极小值点.【解析】(1)因为f′(x)=,所以k=f′(1)=-2.又因为f(1)=e+2,所以切线方程为y-(e+2)=-2(x-1),即2x+y-e-4=0.(2)令h(x)=ex(x-1)-2,则h′(x)=ex·x,所以x∈(-∞,0)时h′(x)<0,x∈(0,+∞)时h′(x)>0.当x∈(-∞,0)时,易知h(x)<0,所以f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上没有极值点.当x∈(0,+∞)时,因为h(1)=-2<0,h(2)=e2-2>0,所以f′(1)<0,f′(2)>0,f(x)在(1,2)上有极小值点.又因为h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)仅有唯一的极小值点.2.已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)定义域内的极值点的个数.(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的最大值.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a-=.当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.所以f(x)在(0,+∞)上没有极值点.当a>0时,由f′(x)>0得x>.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,即f(x)在x=处有极小值.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点;当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.(2)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=a-1=0,则a=1,从而f(x)=x-1-lnx,因为∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,所以∀x∈(0,+∞),1+-≥b恒成立.令g(x)=1+-,则g′(x)=,由g′(x)≥0得x≥e2,则g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增.所以g(x)min=g(e2)=1-,故实数b的最大值为1-.
