【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第八章第8讲第3课时知能训练轻松闯关1．(2015·东北三校联合模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．解：(1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y．所以E的方程为x2＝8y．(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b．OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．2．(2015·河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且OA·OB＝2，其中O为原点．(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值．解：(1)将y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0，其中Δ＝4p2k2＋16p＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p．OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4＝2．所以p＝，所以抛物线E的方程为x2＝y．(2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2．k1＝＝＝＝x1－x2，同理k2＝x2－x1，所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16．3．(2015·山西省四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|＝1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得MP·MQ＝0．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1．(2)由，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2．设P(xP，yP)，则xP＝－＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P(－，)．∵M(t，0)，Q(4，4k＋m)，∴MP＝(－－t，)，MQ＝(4－t，4k＋m)．∴MP·MQ＝(－－t)·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，故，即t＝1．∴存在点M(1，0)符合题意．1
