专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示【考纲解读】内容要求备注ABC平面向量平面向量的坐标表示√1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【直击考点】题组一常识题1．已知AB＝(－1，3)，B(2，5)，则点A的坐标为________．2．已知a＝(2，－6)，b＝(3，7)，则2a＋3b＝________．【解析】2a＋3b＝2(2，－6)＋3(3，7)＝(4＋9，－12＋21)＝(13，9)．3．已知a＝(－1，2)，b＝(sinθ，cosθ)，且a∥b，则tanθ＝________．【解析】由a∥b得(－1)·cosθ－2·sinθ＝0，所以tanθ＝＝－.4．已知e1，e2是平面向量的一组基底，a＝λe1＋2e2，b＝3e1－e2，若a与b共线，则λ＝________．【解析】设b＝ka，则b＝k(λe1＋2e2)＝kλe1＋2ke2，即3e1－e2＝kλe1＋2ke2，所以kλ＝3且2k＝－1，所以λ＝－6.题组二常错题5．在等边三角形ABC中，若AB＝a，BC＝b，则a，b的夹角为________．【解析】两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，本题中a，b的夹角易错认为是60°.6．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB共线的单位向量为________．【解析】由已知得AB＝(12，－5)，所以|AB|＝13，因此与AB共线的单位向量为±AB＝±.题组三常考题7．已知点A(1，0)，B(2，3)，向量AC＝(－4，3)，则向量CB＝________．【解析】 AB＝(2－1，3－0)＝(1，3)，∴CB＝CA＋AB＝AB－AC＝(1，3)－(－4，3)＝1(5，0)．8．已知向量a＝(m，－2)，b＝(1，m－3)，且a∥b，则m＝________．【解析】依题意有m(m－3)－(－2)×1＝0，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.9．如图4241所示，在平行四边形ABCD中，CP＝3PD，则AP＝________，BP＝________(用向量AD和AB表示)．【解析】因为CP＝3PD，所以AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB.【知识清单】考点1平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果12ee，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12，，使1122aee+.其中，不共线的向量12ee，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点2平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axyij＝＋，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，因此把(,)xy叫做向量a的坐标，记作(,)axy，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)若1122()()AxyBxy，，，，则2121()AxxyyB＝－，－．23．平面向量的坐标运算(1)若1122()()axybxy，，，，则1212()abxxyy，；(2)若()axy＝，，则()axy＝，．(3)设1122()()AxyBxy，，，，则2121()AxxyyB＝－，－，221221|()AxxyBy＝－(－|).考点3平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()axybxy，，，，则ab∥⇔12210xyxy-【考点深度剖析】平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想．【重点难点突破】考点1平面向量基本定理及其应用【1-1】如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD�＝a，AB�＝b，若AB�＝2DC�，则AO�＝________(用向量a和b表示)．【答案】21a33b【解析】 AB�＝2DC�，∴DOCBOA△∽△，且12OCOA，∴AO�＝23AC�＝23(AD�＋DC�)＝2132ab＝21a33b.【1-2】如图，已知AP�＝43AB�，用OA�，OB�表示OP�，则OP�等于.3【答案】－13OA�＋43OB�【解析】OP�＝OA�＋AP�＝OA�＋43AB�＝OA�＋43(OB�－OA�)＝－13OA�＋43OB�.【思想方法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基...
