专题3.2利用导数研究函数的极值与最值【考纲解读】内容要求备注ABC导数及其应用利用导数研究函数的单调性与极值√【直击考点】题组一常识题1．[教材改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是______________．【解析】f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，解得x>ln2，则函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间为(ln2，＋∞)．2．[教材改编]函数f(x)＝x3－12x的极小值是________，极大值是________．【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，3．[教材改编]一条长为2a的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．【解析】设两段铁丝的长分别为x，2a－x.则两个正方形的面积之和为S＝＋＝－＋，则S′(x)＝－，令S′(x)＝0得x＝a.当x
a时，S′(x)>0.所以S在x＝a处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a.题组二常错题4．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为______________．【解析】y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得00时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.6．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．题组三常考题7．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(2，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】f′(x)＝k－，由已知得f′(x)≥0在(2，＋∞)上恒成立，故k≥.因为x>2，所以0<<，故k的取值范围是.8．函数f(x)＝x－lnx在(2，＋∞)上的单调性是__________________．【解析】f′(x)＝1－＝，令f′(x)>0，得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，所以函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数．【知识清单】考点1运用导数求函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．考点2运用导数求函数的极值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．考点3运用导数求函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【考点深度剖析】2【重点难点突破】考点1运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．【答案】(1)k＝1.(2)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．【1-1】【1-2】已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________.【答案】33【思想方法】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．【温馨提醒】在函数f(x)的定义域内研究函数单调性．考点2运用导数求函数的极值【2-1】已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．【答案】(1)a＝e.(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．【解析】(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′...
