圆锥曲线1．(2017·广州五校联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且经过点(，1)，O为坐标原点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x＝－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当∠PMQ＝60°时，求直线PQ的方程．解：(1)由题意可得e＝＝， 椭圆E经过点(，1)，∴＋＝1，又a2－b2＝c2，解得a＝2，b＝2，∴椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)连接OM，OP，OQ，OM与PQ交于点A，依题意可设M(－4，m)．由圆的切线性质及∠PMQ＝60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP＝30°， |OP|＝2，∴|OM|＝4，∴＝4，又m>0，解得m＝4，∴M(－4,4)，∴直线OM的斜率kOM＝－1，由MP＝MQ，OP＝OQ可得OM⊥PQ，∴直线PQ的斜率kPQ＝1，设直线PQ的方程为y＝x＋n， ∠OMP＝30°，∴∠POM＝60°，∴∠OPA＝30°，由|OP|＝2知|OA|＝，即点O到直线PQ的距离为，∴＝，解得n＝±2(舍去负值)，∴直线PQ的方程为x－y＋2＝0.2．如图，分别过椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，l1，l2与椭圆E分别交于A，B与C，D且这四点两两不同，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1＋k2＝k3＋k4.已知当l1与x轴重合时，|AB|＝2，|CD|＝.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出M，N点坐标；若不存在，说明理由．解：(1)当l1与x轴重合时，由2a＝|AB|＝2，得a2＝3.又＝|CD|＝，所以b2＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)焦点F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，当直线l1或l2的斜率不存在时，P点的坐标为(－1,0)或(1,0)．当斜率存在时，设直线l1，l2的斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(2＋3m)x2＋6mx＋3m－6＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以k1＋k2＝＋＝m1＝m1＝.同理k3＋k4＝. k1＋k2＝k3＋k4，∴＝，即(m1m2＋2)(m2－m1)＝0，由题意得m1≠m2，∴m1m2＋2＝0.设P(x，y)，则·＋2＝0，即＋x2＝1(x≠±1)．当直线l1或l2的斜率不存在时，P点坐标为(－1,0)或(1,0)也满足上式，所以P(x，y)在椭圆＋x2＝1上．所以存在点M，N，其坐标分别为(0，－1)，(0,1)，使得|PM|＋|PN|为定值2.3．已知动点P到定点F(1,0)和直线l0：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点(与A，B不重合)．(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．解：(1)设点P(x，y)，由题意可得＝，整理可得＋y2＝1，即曲线E的方程是＋y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|＝.当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2＋y2＝1相切，可得＝1，即m2＋1＝n2.联立消去y得x2＋2mnx＋n2－1＝0.Δ＝4m2n2－4(n2－1)＝2m2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，则S四边形ABCD＝|AB||x2－x1|＝＝＝≤，当且仅当2|m|＝，即m＝±时等号成立，此时n＝±.经检验可知，直线y＝x－和直线y＝－x＋符合题意．1．(2017·贵阳监测)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1·PF2的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值．解：(1)设P(x，y)，则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，∴PF1·PF2＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]，由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得：m2＝2k2＋1.设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝.①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，∴|MN|＝·|d1－d2|，∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝， m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，即S<2.②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.2．(2017·石家庄一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的...
