专题15椭圆、双曲线、抛物线1．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)答案A2．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.3．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为()A.B.C.D．2答案A解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.4．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有()A．0个B．1个C．2个D．4个答案C解析由椭圆方程＋＝1可得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝3.由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6，∴△MF1F2的周长|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16.设△MF1F2的内切圆的半径为r，由题意可得2πr＝3π，解得r＝.5．已知圆x2＋y2＝上点E处的一条切线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率是______________．答案解析如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|＝，由OE＝(OF＋OP)，可知E为FP的中点．由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，故|PH|＝2|OE|＝.6．经过椭圆＋＝1的右焦点的直线l交抛物线y2＝4x于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，则OB·OC＝________.答案－5解析由椭圆＋＝1知右焦点为(1,0)，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l的方程为x＝my＋1.由得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4，∴x1x2＝·＝1.由题意知C(－x1，y1)，∴OB·OC＝(x2，y2)·(－x1，y1)＝－x1x2＋y1y2＝－1－4＝－5.7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．解(1)由题意可得e＝＝，又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.因为椭圆C经过点(1，)，所以＋＝1，解得a＝2，所以b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，解得t＝1，t＝－(舍去)，又圆O的半径r＝＝，所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.9．已知椭圆C的长轴左，右顶点分别为A，B，离心率e＝，右焦点为F，且AF·BF＝－1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°.(1)解依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，由e＝＝，得a＝c.①由AF·BF＝－1，得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②联立①②，解得a＝，c＝1，所以b2＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.因为点P，N在椭圆上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥把⑥代入⑤，得kPQkPN＋1＝＝0，即kPQkPN＝－1，所以∠QPN＝90°.易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.答案(1)D(2)【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y...
