高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理应用案巩固提升 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP专享VIP免费

第1课时余弦定理[A基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝()A．1B．2C．3D.解析：选A.由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5解析：选D.由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±.因为A是锐角，所以cosA＝.又因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以49＝b2＋36－2×b×6×.解得b＝5或b＝－.又因为b＞0，所以b＝5.3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是()A．－B．－C．－D．－解析：选C.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cosA＝＝＝－.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为()A.B.C.D．3解析：选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，可得13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝.因为A为△ABC的内角，所以A＝，所以AC边上的高为AB·sinA＝3×＝.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC中，因为cos2＝，所以＝＋，所以cosA＝.由余弦定理，知＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝________．解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cosB＝＝＝.答案：7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.答案：8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．解析：bccosA＋accosB＋abcosC＝＋＋＝.因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bccosA＋accosB＋abcosC＝×(32＋42＋62)＝.答案：9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.解：在△ABC中，因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝82－2×15－2×15×＝19.所以b＝.10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解：由余弦定理的推论得：cosA＝＝＝，设所求的中线长为x，由余弦定理知：x2＝＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7.所以所求中线长为7.[B能力提升]11．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则AB·BC的值为()A．79B．69C．5D．－5解析：选D.由余弦定理得：cos∠ABC＝＝＝.因为向量AB与BC的夹角为180°－∠ABC，所以AB·BC＝|AB|·|BC|cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是()A．(8，10)B．(2，)C．(2，10)D．(，8)解析：选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．故解得2＜a＜.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为()A．a>bB．a0，所以a2>b2，所以a>b.14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.(1)求cosB的值；(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．解：(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.所以＝，即cosB＝.(2)因为b＝，cosB＝，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，又a＋c＝2b＝2，所以13＝52－ac，解得ac＝12.[C拓展探究]15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－sinA·cosB＝0，即有sinAsinB－sinAcosB＝0.①因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0.又cosB≠0，所以tanB＝.又0