第4章平面向量第3讲A组基础关1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于()A．2B．－1C．－6D．－18答案D解析 a与b的夹角的余弦值为sin＝－，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.2．(2018·烟台一模)已知a＝，b＝，则|a－b|＝()A．1B.C.D.答案C解析因为a－b＝，所以|a－b|2＝2＋2＝2－2＝2－2cos＝2－2cos＝3，所以|a－b|＝.3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝()A.B.C.D．(1,0)答案B解析设b＝(cosα，sinα)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a·b＝(，1)·(cosα，sinα)＝cosα＋sinα＝2sin＝，解得α＝，故b＝.4．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝()A.B．－C.D．－答案B解析由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.5．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为()A．1B.C．2D．3答案D解析 |a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×＝－3. (a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得m＝3.6．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是()A.B.C.D.答案A解析解法一：因为a·b＝1××cos＝.所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×＋4×2＝3，所以|a＋2b|＝，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×2＝.设a＋2b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.解法二：如图，设AB＝a，AE＝b，AD＝2b，AC＝a＋2b.由|AB|＝|AD|，∠BAD＝，易知平行四边形ABCD是菱形，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.17．(2018·南平二模)在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，则AB·AC＝()A．－7B．7C．－28D．28答案A解析在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，可得|AB＋AC|＝6，|AB－AC|＝8，可得AB2＋2AB·AC＋AC2＝36，AB2－2AB·AC＋AC2＝64，两式作差可得，4AB·AC＝－28，所以AB·AC＝－7.8．(2018·潍坊模拟)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，则AB·BD＝________.答案－9解析因为AB＝AC，点D为边BC的中点，所以AD⊥BC，所以AB在BD方向上的投影为|AB|cos(π－B)＝－|AB|cosB＝－|BD|＝－|BC|＝－3，所以AB·BD＝|AB||BD|cos(π－B)＝3×(－3)＝－9.9．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角θ的余弦值为________．答案－解析题中等式两边平方得，|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ，又考虑到|a|＝3|b|，所以0＝4|b|2＋12|b|2cosθ.解得cosθ＝－，故a，b夹角的余弦值为－.10．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，D是边BC的中点．若E是线段AD的中点，则EB·EC＝________.答案－解析由题意得|AB|＝4，|AC|＝2，AB·AC＝4×2×cos120°＝－4.AE＝AD＝(AB＋AC)，AE2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)＝(16－8＋4)＝，所以EB·EC＝(AB－AE)·(AC－AE)＝AB·AC－(AB＋AC)·AE＋AE2＝AB·AC－4AE2＋AE2＝AB·AC－3AE2＝－4－3×＝－.B组能力关1．已知向量a，b，若a＝(1,0)且|b|＝2|a|，则下列结论错误的是()A．|a－b|的最大值为3B．|a＋b|的最大值为3C．当|a－b|最大时a·b＝2D．当|a＋b|最大时a·b＝2答案C解析由题意可得|b|＝2|a|＝2.当a，b共线且所成的角为π时，|a－b|有最大值，最大值为3，A正确；此时a·b＝|a||b|cosπ＝－2，C错误；当a，b共线且所成的角为0时，|a＋b|有最大值，最大值为3，B正确；此时a·b＝|a||b|cos0＝2，D正确．2．(2018·日照模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|AB|＝2，OC＝OA－OB，若M是线段AB的中点，则OC·OM的值为()A.B．2C．2D．32答案D解析由OC＝OA－OB，又OM＝(OA＋OB)，所以OC·OM＝·(OA＋OB)＝OA2－OB2＋OA·OB，又△OAB为等边三角形，所以OA·OB＝2×2cos60°＝2.又OA2＝OB2＝4，所以OC·OM＝×4－×4＋×2＝3.3．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A.B.C.D．3答案A解析连接BD，由已知可得DB＝且△BCD为等...
